Limita posloupnosti - komplexní úloha XIV
Úloha číslo: 866
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\Big[\sqrt{n}\Big] + \Big[2\sqrt{n}\Big] + \cdots + \Big[n\sqrt{n}\Big]},\]kde [·] značí funkci nazývanou celá část. Ta je pro všechna reálná čísla definována tak, že [x] je rovno nejvyššímu celému číslu, které je menší nebo rovno x.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\Big[\sqrt{n}\Big] + \Big[2\sqrt{n}\Big] + \cdots + \Big[n\sqrt{n}\Big]},\]kde [·] značí funkci nazývanou celá část popsanou v zadání úlohy.
Úlohu budeme řešit pomocí odhadu posloupnosti zespoda i seshora, které povedou na stejnou limitu. Podle tvrzení úlohy Věta o dvou policajtech bude mít i původní posloupnost tutéž limitu.
Jmenovatel můžeme seshora odhadnout postupem
\[\Big[\sqrt{n}\Big] + \Big[2\sqrt{n}\Big] + \cdots + \Big[n\sqrt{n}\Big] \leq \] \[ \leq \sqrt{n} + 2\sqrt{n} + \cdots +n\sqrt{n} = \sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}\]a zespoda postupem
\[\Big[\sqrt{n}\Big] + \Big[2\sqrt{n}\Big] + \cdots + \Big[n\sqrt{n}\Big] \geq \] \[ \geq \sqrt{n} - 1 + 2\sqrt{n} - 1 + \cdots +n\sqrt{n} - 1 = \sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}-n.\]Pro celý zlomek tedy máme odhady
\[\frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}} \leq \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\Big[\sqrt{n}\Big] + \Big[2\sqrt{n}\Big] + \cdots + \Big[n\sqrt{n}\Big]},\] \[\frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}-n} \geq \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\Big[\sqrt{n}\Big] + \Big[2\sqrt{n}\Big] + \cdots + \Big[n\sqrt{n}\Big]}.\]Pokud ukážeme, že posloupnosti, jejichž n-tý člen je určen menším i větším zlomkem, mají stejnou limitu, bude mít tutéž hodnotu i hledaná limita.
A protože podle věty o aritmetice limit máme, že
\[\lim \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}-n} = \] \[ = \lim \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}(n+1)}\right)} = \] \[ = \lim \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}} \cdot \lim \ \frac{1}{1-\frac{2}{\sqrt{n}(n+1)}} = \] \[ = \lim \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}} \cdot \frac{1}{1-0} = \] \[ = \lim \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}},\]přičemž poslední zlomek odpovídá druhému z uvažované dvojice, vidíme, že stačí ukázat, že jeho limita existuje.
Zkrácením dostaneme, že
\[ \lim \ \frac{n\sqrt{n} \ \sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\sqrt{n}\frac{n(n+1)}{2}} = \] \[ = \lim \ \frac{\sqrt[n]{(n+1)^n + n^{n+1}}}{\frac{n+1}{2}} = \]a následným vytknutím zpod odmocniny
\[ = \lim \ \frac{\sqrt[n]{1 + \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}}}{\frac{1}{2}} = \] \[ = \lim \ 2\cdot \sqrt[n]{1 + \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}}.\]Ukážeme, že poslední limita je rovna dvěma. K tomu opět použijeme úlohu Věta o dvou policajtech. Pro n ≥ 2 máme totiž odhady
\[1 \leq \sqrt[n]{1 + \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}} \leq \sqrt[n]{1+\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^n}} = \sqrt[n]{2+n}\leq \sqrt[n]{2n} = \sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{n},\]přitom limita levé strany je zjevně rovna jedné a o pravé straně to plyne z úloh Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I a Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II.
Tudíž
\[ \lim \ 2\cdot \sqrt[n]{1 + \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}} = 2{\cdot} 1 = 2.\]
