Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění III

Úloha číslo: 832

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right).\]
  • Řešení

    Rozšířením dostaneme

    \[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n\cdot\frac{{n^2+1-(n^2-1)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}} = \]

    a dále pokračujeme vytknutím ze jmenovatele

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2}\left(\sqrt{1+1/n^2}+\sqrt{1-1/n^2}\right)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+1/n^2}+\sqrt{1-1/n^2}} = \]

    a nakonec použijeme větu o aritmetice limit a ve jmenovateli posléze část (a) úlohy Limita pod odmocninou I

    \[ = \frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze