Sbírka řešených úloh

Diferenciální rovnice - úvod do problematiky

Úloha číslo: 1710

• Terminologie, základní pojmy a teorie okolo

  Základní pojmy

  Diferenciální rovnicí rozumíme rovnici popisující vztah mezi hledanou neznámou funkcí a jejími derivacemi.

  Je-li hledaná funkce funkcí jedné proměnné, hovoříme o obyčejné diferenciální rovnici. Jedná-li se o funkci více proměnných, alespoň dvou, hovoříme o parciální diferenciální rovnici.

  Je-li nakonec dáno \(m\) diferenciálních rovnic o \(n\) neznámých, hovoříme o soustavě \(m\) diferenciálních rovnic o \(n\) neznámých.

  Diferenciální rovnice, případně jejich soustavy, dále rozlišujeme dle řádu, tedy řádu nejvyšší derivace hledané funkce vyskytující se v dané rovnici, případně v dané soustavě rovnic. Řád diferenciální rovnice musí být alespoň jedna, jinak hovoříme o takzvané funkcionální rovnici.

  Řešení diferenciální rovnice

  Za řešení diferenciální rovnice považujeme každou funkci vyhovující dané diferenciální rovnici. Jedním konkrétním řešením rozumíme partikulární řešení. Partikulární řešení, které již dále nelze prodloužit, zveme řešení maximální. Konečně pak vzorcem, obsahujícím při vhodné volbě konstant všechna řešení partikulární, rozumíme řešení obecné. Jinými slovy, obecné řešení obsahuje všechna řešení partikulární.

  Počáteční podmínky a obecné řešení

  Je-li naším úkolem vyřešit danou diferenciální rovnici na blíže nespecifikovaném intervalu a bez blíže specifikovaných podmínek, obvykle se tím myslí nalézt její obecné řešení na maximálním možném intervalu.

  Máme-li naopak nalézt řešení vyhovující určitým počátečním podmínkám, je tím myšleno jedno konkrétní partikulární řešení splňující tyto podmínky. Obvykle jej získáme z obecného řešení určením konkrétní podoby příslušných konstant.

  Otázka existence a jednoznačnosti řešení

  Tuto důležitou otázku v teorii diferenciálních rovnice zastupuje tzv. Cauchyova počáteční úloha. Tj. úloha, kladoucí si za cíl, zjistit, zda-li na daném intervalu vůbec existuje řešení vyhovující daným počátečním podmínkám a je-li pak toto řešení jednoznačně určeno. V tomto odstavci si vystačíme s předpokladem, že každá rozumně zadaná diferenciální rovnice je řešitelná. Jinými slovy, jsou-li obsažené funkce na nějakém intervalu spojité, pak na tomto intervalu existuje i řešení příslušné rovnice. Je-li dále v každém bodě uvažovaného intervalu lokálně splněna tzv. Lipchitzova podmínka, pak má Cauchyova počáteční úloha právě jedno řešení.

• a) je diferenciální rovnice? - nápověda

  V souladu s teorií obsaženou v rozboru úlohy nejprve určeme, zda-li se jedná či nejedná o diferenciální rovnici. Zamysleme se, jestli jsme se již s danou rovnicí nesetkali někdy dříve, případně kde.

• a) je diferenciální rovnice? - nápověda - řešení

  V případě a) se nejedná o diferenciální rovnici, neboť tato nepopisuje vztah mezi hledanou funkcí a jejími deravacemi. Povšimněme si navíc, že se jedná o rovnici kuželosečky. Konkrétně jde o elipsu se středem v počátku soustavy souřadné, jíž přísluší středová rovnice

  \[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1\,.\]

  Poznámka: Ke středovému tvaru jsme došli dělením obou stran rovnice 100.

• a) je diferenciální rovnice? - řešení

  V případě a) se o diferenciální rovnici nejedná. Jde o rovnici elipsi. Nemá proto smysl hloubat nad dalšími podotázkami.

• b) je diferenciální rovnice? - nápověda

  Stejně jako v případě a) se i nyní zamysleme, jak přesně jsou diferenciální rovnice definované. Zda-li tedy může rovnice b) býti diferenciální rovnicí či nikoli.

• b) je diferenciální rovnice? - nápověda - řešení

  Uvědomme si, že aby b) byla diferenciální rovnicí, musela by popisovat vzrah mezi hledanou funkcí a jejími derivacemi. V případě b) ale není v rovnici obsažena žádná derivace hledané funkce. O diferenciální rovnici se tak nejedná.

  V tomto konkrétním případě jde navíc o rovnici funkcionální, jež spolu s podmínkou

  \[\lim_{x\to 0}{\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1}\]

  zavádí exponenciální funkci.

• b) je diferenciální rovnice? - řešení

  V případě b) se o diferenciální rovnici nejedná, neboť jde o rovnici funkcionální. Nemá proto smysl hloubat nad dalšími podotázkami.

• c) je diferenciální rovnice? - nápověda

  Stejně jako v případě a), b) i nyní rozhodněme na základě přiložené teorie, zda-li se jedná o diferenciální rovnici či nikoli. V kladném případě určeme navíc její řád.

• c) je diferenciální rovnice? - nápověda - řešení

  Protože rovnice \(y^{'} = y \) zcela zjevně popisuje vztah mezi funkcí a její derivací, jedná se o diferenciální rovnici.

  Ve všech dalších úlohách obsažených v této sekci věnované obyčejným diferenciálním rovnicím se budeme věnovat výlučně obyčejným diferenciálním rovnicím. Prosté \(y\) tak budeme nadále chápat jako \(y(x)\), tedy jako funkci jedné proměnné.

  Jelikož je dále nejvyšší derivace hledané funkce obsažená v rovnici řádu jedna, hovoříme tak celkově o obyčejné diferenciální rovnici prvního řádu.

• c) možná podoba řešení - nápověda

  Povšimněme si v jakém vztahu je rovnice c) s exponenciální funkcí, již jsme si zavedli v případě b). Na základě jejich vzájemného vztahu se dále pokusme určit možnou podobu obecného, respektive partikulárního řešení rovnice c).

• c) možná podoba řešení - nápověda - řešení

  Vzpomeňme jednu z klíčových vlastností exponenciální funkce. Konkrétně, že se derivace v každém bodě rovná funkční hodnotě v tomto bodě. Za obecné řešení tak můžeme považovat funkci

  \[y=C\mathrm{e}^x\,, C\in \mathbb{R}\,,\]

  jež dané diferenciální rovnici vyhovuje pro všechna reálná čísla.

  Jedno konkrétní partikulární řešení můžeme dále získat prostou volbou konstanty \(C\). Tedy například

  \[y=5\mathrm{e}^x\,.\]

• c) možná podoba řešení - řešení

  Obecným řešením této diferenciální rovnice je funkce

  \[y=C\mathrm{e}^x\,, C\in \mathbb{R}\,.\]

  Možné partikulární řešení získáme konkrétní volbou konstanty \(C\). Přijatelným partiklárním řešením je tak například funkce

  \[y=5\mathrm{e}^x\,.\]

  Zde se navíc jedná o řešení maximální. Není totiž zůžením jiného partikulárního řešení. O čemž svědčí i skutečnost, že dané rovnici vyhovuje na celém oboru reálných čísel.

• d) je diferenciální rovnice? - nápověda

  Abychom dokázali zodpovědět, zda-li je/není d) diferenciální rovnicí, je třeba pátrat v Newtonových Principiích po významu užitého značení pomocí tečky.

• d) je diferenciální rovnice? - nápověda - řešení

  Tečka, dle Newtonovy notace, ve fyzice značí derivaci podle času. Toto značení Newton zavedl ve svých Principiích v rámci zjednodušení matematického zápisu. Fyziky totiž nejčastěji zajímají právě změny veličin s časem.

  Celkově tak můžeme říci, že se jedná o obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu.

• d) je diferenciální rovnice? - řešení

  Protože je pomocí tečky ve fyzice běžně značena časová derivace, můžeme říci, že se jedná o obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu.

• d) jsou řešeními rovnice? - nápověda

  v souladu s teorií obsaženou v motivačním textu úlohy nyní rozhodněme, zda-li jsou/nejsou navrhovaná řešení 1. - 3. řešeními rovnice d). Případně diskutujme, zda-li se jedná o řešení obecné, respektive partikulární.

  Poznamenejme, že prosté dosazení navrhovaného řešení, může hodně pomoci v rámci prvního pohledu na problém.

• d) jsou řešeními rovnice? - nápověda - řešení

  Dosadíme-li kterékoli z navrhovaných řešení 1. - 3. do rovnice d), zjišťujeme, že všechny tyto funkce jsou řešeními rovnice d).

  Uvědomíme-li si dále libovůli v konstantě \(K\), dojdeme k závěru, že se v případě 1. jedná o řešení obecné.

  Ve zbývajících dvou případech jde zjevně o řešení partikulární, získaná konkrétní volbou konstanty \(K\) v návrhu jedna. V případě funkce druhé jde zjevně o počáteční podmínku \(Q(0)=Q_0\). P případě funkce třetí pak o podmínku \(Q(0)=0\).

• d) jsou řešeními rovnice? - řešení

  1. \(Q=K \mathrm{e}^{-\frac{R}{C}t}\,, K \in \mathbb{R}\) je obecným řešením rovnice d)
  2. \(Q=Q_0 \mathrm{e}^{-\frac{R}{C}t}\) je partikulárním řešením rovnice d) při počáteční podmínce \(Q(0)=Q_0\)
  3. \(Q=0\) je partikulárním řešením rovnice d) při počáteční podmínce \(Q(0)=0\)