Věta o limitě derivací
Úloha číslo: 1351
Dokažte následující tvrzení.
1. Nechť reálná funkce f je spojitá zprava v bodě \(a\in\mathbf{R}\) a existuje \(\lim\limits_{x\to a+} f^{\prime}(x).\)
Potom funkce f má v bodě a derivaci zprava a platí, že
\[f^{\prime}_+(a) = \lim_{x\to a+} f^{\prime}(x).\]2. Nechť reálná funkce f je spojitá zleva v bodě \(a\in\mathbf{R}\) a existuje \(\lim\limits_{x\to a-} f^{\prime}(x).\)
Potom funkce f má v bodě a derivaci zleva a platí, že
\[f^{\prime}_-(a) = \lim_{x\to a-} f^{\prime}(x).\]Řešení části 1 – případ, že limita derivací je konečná
Předpokládejme, že existuje konečná limita
\[L = \lim_{x\to a+} f_+^\prime(x).\]Volme ε > 0 libovolně. Potom podle definice vlastní limity zprava existuje δ > 0 takové, že
\[\left|L - f_+^\prime(z)\right| < \varepsilon, \qquad z \in (a,a+\delta).\tag{1}\]Je-li nyní \(x\in (a,a+\delta)\) libovolné, potom f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, x], neboť podle (1) má funkce f v intervalu (a, x] vlastní derivaci a spojitost zprava v bodě a předpokládáme.
Podle Lagrangeovy věty (viz úlohu Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu pak existuje cx z otevřeného intervalu (a, x) takové, že
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^\prime(c_x).\]Jenže podle (1) je
\[\left|L - f_+^\prime(c_x)\right| < \varepsilon,\]a tedy
\[\left|L - \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| < \varepsilon.\]Podle definice limity zprava vyplývá, že
\[\lim_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = L,\]což ale ihned dává, že
\[f_+^\prime(a) = L,\]což jsme chtěli ukázat.
Řešení části 1 – případ, že limita derivací je nekonečná
Předpokládejme, že existuje limita
\[L = \lim_{x\to a+} f_+^\prime(x).\]1. Budiž nejprve L = +∞.
Volme K libovolně. Potom podle definice nevlastní limity zprava existuje δ > 0 takové, že
\[f_+^\prime(z) > K, \qquad z \in (a,a+\delta)\tag{1}\]přičemž hodnoty \(f_+^\prime(z)\) jsou na tomto intervalu konečné.
Je-li nyní \(x\in (a,a+\delta)\) libovolné, potom f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, x], neboť podle dodatku k (1) výše má funkce f v intervalu (a, x] vlastní derivaci a spojitost zprava v bodě a předpokládáme.
Podle Lagrangeovy věty (viz úlohu Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu pak existuje cx z otevřeného intervalu (a, x) takové, že
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^\prime(c_x).\]Jenže podle (1) je
\[f_+^\prime(c_x) > K\]a tedy
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > K.\]Připomeňme, že K jsme volili libovolně. Podle definice limity zprava vyplývá, že
\[\lim_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty = L,\]což ale ihned dává, že
\[f_+^\prime(a) = L,\]což jsme chtěli ukázat.
2. Budiž nyní L = –∞.
Volme K libovolně. Potom podle definice nevlastní limity zprava existuje δ > 0 takové, že
\[f_+^\prime(z) < K, \qquad z \in (a,a+\delta)\tag{1}\]přičemž hodnoty \(f_+^\prime(z)\) jsou na tomto intervalu konečné.
Je-li nyní \(x\in (a,a+\delta)\) libovolné, potom f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, x], neboť podle dodatku k (1) výše má funkce f v intervalu (a, x] vlastní derivaci a spojitost zprava v bodě a předpokládáme.
Podle Lagrangeovy věty (viz úlohu Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu pak existuje cx z otevřeného intervalu (a, x) takové, že
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^\prime(c_x).\]Jenže podle (1) je
\[f_+^\prime(c_x) < K\]a tedy
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < K.\]Připomeňme, že K jsme volili libovolně. Podle definice limity zprava vyplývá, že
\[\lim_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty = L,\]což ale ihned dává, že
\[f_+^\prime(a) = L,\]což jsme chtěli ukázat.
Řešení části 2 – případ, že limita derivací je konečná
Předpokládejme, že existuje konečná limita
\[L = \lim_{x\to a-} f_-^\prime(x).\]Volme ε > 0 libovolně. Potom podle definice vlastní limity zprava existuje δ > 0 takové, že
\[\left|L - f_-^\prime(z)\right| < \varepsilon, \qquad z \in (a-\delta,a).\tag{1}\]Je-li nyní \(x\in (a-\delta,a)\) libovolné, potom f je spojitá na uzavřeném intervalu [x, a], neboť podle (1) má funkce f v intervalu [x, a) vlastní derivaci a spojitost zleva v bodě a předpokládáme.
Podle Lagrangeovy věty (viz úlohu Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu pak existuje cx z otevřeného intervalu (x, a) takové, že
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^\prime(c_x).\]Jenže podle (1) je
\[\left|L - f_+^\prime(c_x)\right| < \varepsilon,\]a tedy
\[\left|L - \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| < \varepsilon.\]Podle definice limity zleva vyplývá, že
\[\lim_{x\to a-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = L,\]což ale ihned dává, že
\[f_-^\prime(a) = L,\]což jsme chtěli ukázat.
Řešení části 2 – případ, že limita derivací je nekonečná
Předpokládejme, že existuje limita
\[L = \lim_{x\to a-} f_-^\prime(x).\]1. Budiž nejprve L = +∞.
Volme K reálné libovolně. Potom podle definice nevlastní limity zprava existuje δ > 0 takové, že
\[f_+^\prime(z) > K, \qquad z \in (a-\delta,a)\tag{1}\]přičemž hodnoty \(f_-^\prime(z)\) jsou na tomto intervalu konečné.
Je-li nyní \(x\in (a-\delta,a)\) libovolné, potom f je spojitá na uzavřeném intervalu [x, a], neboť podle dodatku k (1) výše má funkce f v intervalu [x, a) vlastní derivaci a spojitost zleva v bodě a předpokládáme.
Podle Lagrangeovy věty (viz úlohu Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu pak existuje cx z otevřeného intervalu (x, a) takové, že
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^\prime(c_x).\]Jenže podle (1) je
\[f_+^\prime(c_x) > K\]a tedy
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > K.\]Připomeňme, že K jsme volili libovolně. Podle definice limity zleva vyplývá, že
\[\lim_{x\to a-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty = L,\]což ale ihned dává, že
\[f_-^\prime(a) = L,\]což jsme chtěli ukázat.
2. Budiž nyní L = –∞.
Volme K reálné libovolně. Potom podle definice nevlastní limity zprava existuje δ > 0 takové, že
\[f_+^\prime(z) < K, \qquad z \in (a-\delta,a)\tag{1}\]přičemž hodnoty \(f_-^\prime(z)\) jsou na tomto intervalu konečné.
Je-li nyní \(x\in (a-\delta,a)\) libovolné, potom f je spojitá na uzavřeném intervalu [x, a], neboť podle dodatku k (1) výše má funkce f v intervalu [x, a) vlastní derivaci a spojitost zprava v bodě a předpokládáme.
Podle Lagrangeovy věty (viz úlohu Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu pak existuje cx z otevřeného intervalu (x, a) takové, že
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^\prime(c_x).\]Jenže podle (1) je
\[f_+^\prime(c_x) < K\]a tedy
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < K.\]Připomeňme, že K jsme volili libovolně. Podle definice limity zleva vyplývá, že
\[\lim_{x\to a-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty = L,\]což ale ihned dává, že
\[f_-^\prime(a) = L,\]což jsme chtěli ukázat.
