Některé rovnice dalšího typu II.
Úloha číslo: 1856
Nalezněte obecné řešení rovnice \(y'= \frac{2x-y+1}{x-2y+1}\).
Další bezejmenná rovnice
Rovnice typu \(y'=f\bigl( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \bigr)\)
Pro rovnice typu \(y'=f\bigl( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \bigr)\) sice nemáme speciální název, jejich obecného řešení se však dobrat umíme.
Při řešení rovnic tohoto typu uvažujeme dva případy
- \(\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0 \)
- \(\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \ne 0 \)
V prvním případě se jedná o skrytou rovnici typu \(y'=f(ax+by+c)\), kterou již umíme řešit, neboť v řeči lineární algebry platí
\[a_2x+b_2y=k(a_1x+b_1y);\, k\ne 0 \,.\](Čtvercová matice je singulární právě tehdy, má-li nulový determinant. To ale znamená, že řádky takovéto matice jsou lineárně závislé. Pro konkrétní případ čtvercové matice řádu dva je tedy jeden řádek \(k\)-násobkem řádku druhého.)
Řešená rovnici tak nabývá tvaru
\[y'=f\left( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{k(a_1x+b_1y)+c_2} \right) \Rightarrow y'=\tilde{f}(a_1x+b_1y) \,.\]Ve druhém případě si uvědomíme, že kdyby konstanty \(c_1$, $c_2 = 0\), řešili bychom homogenní rovnici
\[y'=f\left( \frac{a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y} \right)=f\left( \frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}} \right)\,.\]Naším úkolem je tak nalézt substituci vedoucí k vynulování konstant \(c_1, c_2\). Pro tento účel nejprve nalezneme uspořádanou dvojici \([A,B]\) jako řešení soustavy
\[\begin{align*} a_1x+b_1y+c_1&=0\\ a_2x+b_2y+c_2&=0 \,. \end{align*}\]Zavedeme-li následně substituci
\[\begin{align*} x&=v+A \Rightarrow v=x-A\\ y&=u+B \Rightarrow u=y-B\,, \end{align*}\]kde
\[y'=u' \,.\]Řešená rovnice přejde v rovnici
\[u'=f\left( \frac{a_1(A+v)+b_1(B+u)+c_1}{a_2(A+v)+b_2(B+u)+c_2} \right)=f\left( \frac{a_1v+b_1u+(a_1A+b_1B+c_1)}{a_2v+b_2u+(a_2A+b_2B+c_2)} \right)\,.\]Výrazy v závorkách jsou rovny nule, neboť \([A,B]\) jsme volili jako řešení příslušné soustavy. Celkově tak získáváme homogenní diferenciální rovnici
\[u'=f\left( \frac{a_1v+b_1u}{a_2v+b_2u} \right) =f\left( \frac{a_1+b_1\frac{u}{v}}{a_2+b_2\frac{u}{v}} \right) \,.\]Dále skrze substituci \(z(v)=\frac{u(v)}{v}\) dojdeme k funkci \(z(v)\) . Od \(z(v)\) následně přejdeme k \(u(v)=z(v)v\) a od \(u(v)\) pak konečně skrze substituční vztahy \(u=y-B\) a \(v=x-A\) zpět k hledané funkci \(y(x)\).
Poznamenejme na závěr, že v případě rovnic typu \(y'=f\bigl( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \bigr)\) mnohdy řešení uvádíme v implicitní podobě$.
Implicitní řešení je takové, které vyplývá z daných podmínek, například rovnice. Jeho přesný předpis však neznáme.
Substituce
Na první pohled vidíme, že se jedná o rovnici \(y'=f\bigl( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \bigr)\). V souladu s osvojeným postupem nejprve vytyčíme cestu k řešení, posléze zavedeme vhodnou substituci.
Homogenní rovnice
V souladu s osvojeným postupem z úlohy Homogenní rovnice nyní vyřešte získanou homogenní rovnici.
Řešení
Vzhledem ke skutečnosti, že se jedná o rovnici typu \(y'=f\bigl( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \bigr)\), nejprve určíme determinant
\[\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2(-2)-1(-1)=-4+1=-3 \,.\]Determinant vyšel různý od nuly. V souladu s výše uvedeným postupem nejprve určíme uspořádanou dvojici \([A,B]\) jako řešení soustavy
\[\begin{align*} 2x-y+1 &= 0\\ x-2y+1 &= 0\,. \end{align*}\]Zjišťujeme, že soustavu řeší dvojice \([-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]\). Z čehož vyplývá substituce
\[\begin{align*} x &= v-\frac{1}{3}\\ y &= u+\frac{1}{3} \Rightarrow y'=u' \,. \end{align*}\]Řešená rovnice \(y'= \frac{2x-y+1}{x-2y+1}\) tak celkově přechází v homogenní rovnici
\[u'= \frac{2(v-\frac{1}{3})-(u+\frac{1}{3})+1}{(v-\frac{1}{3})-2(u+\frac{1}{3})+1}=\frac{2v-u}{v-2u}=\frac{2-\frac{u}{v}}{1-2\frac{u}{v}}\,.\]Pro řešení získané rovnice zavedeme substituci
\[z(v) = \frac{u(v)}{v}\Rightarrow u' = z'v+z \,.\]Celkově tak získáme rovnici se separovanými proměnnými
\[\begin{align*} z'v+z &= \frac{2-z}{1-2z}\\ z'v &= \frac{2-z-z(1-2z)}{1-2z}\\ \frac{1-2z}{1-z+z^2} z' &= \frac{2}{v} \,. \end{align*}\]Na obou stranách rovnice jsou spojité funkce, rovnici proto můžeme integrovat
\[\int\frac{1-2z}{1-z+z^2} \mathrm{d} z= \int\frac{2}{v}\mathrm{d} v \,.\]Na straně levé zavedeme substituci \(w=1-z+z^2\), kde \(\mathrm{d} w=(-1+2z) \mathrm{d}z\), získáme tak
\[\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d} w}{w} &=- \int\frac{2}{v}\mathrm{d} v\\ \ln (Kw) &= -2 \ln v;\, Kw>0 \,. \end{align*}\]Po následném odlogaritmování pak
\[w = C\frac{1}{v^2};\, K=\frac{1}{C} \,,\]nebo-li
\[1-z+z^2 = C\frac{1}{v^2}\,.\]Pomocí zpětné substituce \(z=\frac{u}{v}\) , čili \(z = \frac{y-\frac{1}{3}}{x+\frac{1}{3}}\), nebo po úpravě \(z = \frac{3y-1}{3x+1}\) obdržíme rovnici
\[1-\frac{3y-1}{3x+1}+\left(\frac{3y-1}{3x+1}\right)^2 = C\frac{1}{\left(x+\frac{1}{3}\right)^2} \] \[x^2+y^2-xy+x-y=C-\frac{1}{3} \,,\]což je hledané obecné řešení v implicitní podobě.
