Základní limity posloupností
Úloha číslo: 691
Pomocí definice vlastní a nevlastní limity posloupnosti dokažte následující tvrzení.
Limitou konstantní posloupnosti \(\{c\}_{n=1}^\infty\) je číslo c, tedy
\[\lim_{n \to \infty}c = c\]
Limitou posloupnosti \(\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^\infty\) je číslo 0, tedy
\[\lim_{{\small n\to \infty}}\ \frac{1}{n} = 0.\]
Limitou posloupnosti \(\{n\}_{n=1}^\infty\) je prvek rozšířené reálné osy \(+\infty\), tedy
\[\lim_{{\small n\to \infty}}\ n = +\infty.\]
Rozbor
Úloha vede na úkol dokázat pravdivost tvrzení, které dostaneme dosazením jednotlivých posloupností a jejich (zadaných) limit do obecných definic vlastní a nevlastní limity posloupnosti.
Důkaz pravdivosti tvrzení ve všech případech probíhá přímo. Jeho jádrem je řešení rovnice s parametrem. Schéma postupu lze najít v nápovědách níže.
Nápověda - definice vlastní limity posloupnosti
Říkáme, že posloupnost reálných čísel {an} má jako svou vlastní limitu reálné číslo L, jestliže
\[\forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 \in {\mathbb N} \ \forall n \in {\mathbb N}, \ n \geq n_0 \ : \ |\,a_n - L\,|\, <\, \varepsilon.\]Vyjádřeno slovy: ať si zvolíme jakkoliv malé kladné číslo ε, od nějakého členu (s indexem n0) počínaje se všechny další členy posloupnosti (s indexy n ≥ n0) liší od L o méně než ε.
Komentář k definici vlastní limity
Hlavní myšlenku definice vlastní limity posloupnosti lze vyjádřit takto:
„Hodnoty členů posloupnosti se od své limity od nějakého členu počínaje liší méně, než je libovolně zvolená předem stanovená mez.“
To se jistě snáze pamatuje, přesnou definici je ale potřeba znát také. A to včetně významu jednotlivých parametrů i pořadí kvantifikátorů!
Někdy se vyjádření hlavní myšlenky ještě více zjednodušuje na úsloví: „Hodnoty členů posloupnosti se své limitě neomezeně blíží.“ Toto zjednodušení už může vést k řadě chybných představ, pojmenujme alespoň dvě. Předně není pravda, že by každý další člen posloupnosti musel být limitě blíže než předchozí člen. Není pravda také to, že pokud se některé členy posloupnosti libovolně blíží k nějakému číslu, že už toto číslo je limitou (v takovém případě se mluví o hromadné hodnotě).
Nápověda - jak definici vlastní limity použít?
Jak definici vlastní limity posloupnosti použít k důkazu, že konkrétní posloupnost má konkrétní limitu?
Do nerovnice \(|\,a_n - L\,|\, \lt \,\varepsilon\) dosadíme za an a L. Chceme ukázat, že pro každý kladný parametr ε ji řeší všechna přirozená čísla od nějakého n0 počínaje.
Získanou nerovnici, pro proměnou n s parametrem ε, tedy řešíme, obvykle v oboru reálných čísel, popřípadě kladných reálných čísel. Řešení v oboru přirozených čísel pak dostaneme jako průnik nalezených řešení s množinou přirozených čísel.
Ještě jednou podotkněme, že jde o nerovnici s parametrem, kde je neznámou n a parametrem ε!!!
Pokud nalezené řešení obsahuje pro každou kladnou hodnotu parametru ε interval, jehož pravý krajní bod je +∞, pak je důkaz hotov. Nerovnici pak totiž řeší všechna přirozená čísla, která v tomto intervalu leží, tudíž všechna přirozená čísla od nějakého počínaje. Toto počáteční číslo určuje levý krajní bod tohoto intervalu. Je-li kladný, pak jej stačí zaokrouhlit nahoru. Je-li záporný, jsou řešením všechna přirozená čísla od jedničky počínaje.
Řešení první části
Pro libovolně zvolené kladné ε hledáme n0 tak, aby pro všechna n > n0 platilo \[|\,a_n - L\,| \, < \, \varepsilon\] .
Podle předchozí nápovědy dosadíme do nerovnice
\[|\,a_n - L\,| \, < \, \varepsilon\]za an a L zadané hodnoty, tj. an = c a za L = c. Dostaneme tak nerovnici
\[|\,c - c\,| \, < \, \varepsilon\] \[0 \, < \, \varepsilon.\]Jejím řešením v oboru reálných čísel jsou pro libovolné kladné ε všechna reálná čísla. Za hledané n0 lze tedy vzít jedničku a tvrzení je dokázáno.
Řešení druhé části
Pro libovolně zvolené kladné ε hledáme n0 tak, aby pro všechna n > n0 platilo \[|\,a_n - L\,| \, \lt \, \varepsilon\] .
Podle nápovědy výše dosadíme do nerovnice
\(|\,a_n - L\,| \, \lt \, \varepsilon\)za an a L zadané hodnoty, tj. an = \(\frac{1}{n}\) a za L = 0. Dostaneme tak nerovnici
\[|\,\frac{1}{n} - 0\,| \, \lt \, \varepsilon\] \[\frac{1}{n} \, < \, \varepsilon.\]Protože nás zajímá řešení v oboru přirozených čísel, stačí se omezit na případ, kdy n je kladné číslo. Parametr ε nabývá také pouze kladných hodnot. Proto můžeme násobením n a dělením ε vyjádřit (díky kladnosti obou čísel zůstane zachován smysl nerovnosti)
\[n \, \gt \, \frac{1}{\varepsilon}.\]Řešením nerovnice v oboru kladných reálných čísel tedy interval
\[ n\in \left(1/\varepsilon,\,+\infty\right).\]Za hledané n0 lze tedy vzít hodnotu \(\frac{1}{\varepsilon}\) zaokrouhlenou nahoru. Důkaz je hotov.
Nápověda - definice nevlastní limity posloupnosti
1. Říkáme, že posloupnost reálných čísel {an} má nevlastní limitu +∞, jestliže
\[\forall K \in {\mathbb R} \ \exists n_0 \in {\mathbb N} \ \forall n \in {\mathbb N}, \ n \geq n_0 \ : \ a_n\, >\, K.\]Vyjádřeno slovy: ať si zvolíme jakékoliv číslo K (mez), od nějakého členu (s indexem n0) počínaje jsou všechny další členy posloupnosti (s indexy n ≥ n0) větší než K.
2. Říkáme, že posloupnost reálných čísel {an} má nevlastní limitu –∞, jestliže
\[\forall K \in {\mathbb R} \ \exists n_0 \in {\mathbb N} \ \forall n \in {\mathbb N}, \ n \geq n_0 \ : \ a_n\, <\, K.\]Vyjádřeno slovy: ať si zvolíme jakékoliv číslo K (mez), od nějakého členu (s indexem n0) počínaje jsou všechny další členy posloupnosti (s indexy n ≥ n0) menší než K.
Hlavní myšlenku definice nevlastních limit posloupností lze vyjádřit takto:
„Hodnoty členů posloupnosti od nějakého členu počínaje rostou nad (resp. klesnou pod) jakoukoli zvolenou mez.“
Nápověda - jak definici nevlastní limity použít?
Jak definici nevlastní limity posloupnosti použít k důkazu, že konkrétní posloupnost má konkrétní limitu?
Do nerovnice \(a_n\, \lt \,K\), resp. \(a_n \, \gt \, K\) (podle toho, zda jde o limitu +∞ nebo –∞) dosadíme za an. Chceme ukázat, že pro každý reálný parametr K ji řeší všechna přirozená čísla od nějakého počínaje.
Podotkněme, že pokud jde o limitu +∞, pak se stačí omezit na kladné hodnoty parametru K, a pokud jde o limitu –∞, pak se stačí omezit na záporné hodnoty parametru K.
Zbytek je vlastně shodný s postupem pro vlastní limitu. Získanou nerovnici tedy řešíme, obvykle v oboru reálných čísel, popřípadě kladných reálných čísel, neboť de facto nás zajímá pouze řešení v oboru přirozených čísel. Řešení v oboru přirozených čísel samozřejmě dostaneme jako průnik řešení v oboru (kladných) reálných čísel s množinou přirozených čísel.
Připomeňme, že jde o nerovnici s parametrem, kde je neznámou n a parametrem K!!!
Pokud nalezené řešení obsahuje pro každou uvažovanou hodnotu parametru K interval, jehož pravý krajní bod je +∞, pak je důkaz hotov. Nerovnici pak totiž řeší všechna přirozená čísla, která v tomto intervalu leží, tudíž všechna přirozená čísla od nějakého počínaje. Toto počáteční číslo určuje levý krajní bod tohoto intervalu. Je-li kladný, pak jej stačí zaokrouhlit nahoru. Je-li záporný, jsou řešením všechna přirozená čísla od jedničky počínaje.
Řešení třetí části
Pro libovolně zvolené K hledáme n0 tak, aby pro všechna n > n0 platilo an > K.
Podle nápovědy výše dosadíme do nerovnice
\[a_n \, > \, K\]za an = n. Dostaneme tak nerovnici
\[n \, > \, K.\]Řešením nerovnice v oboru reálných čísel je tedy interval
\[ n\in \left(K,\,+\infty\right).\]Za hledané n0 lze tedy vzít hodnotu \(K\) zaokrouhlenou nahoru (popřípadě jedničku, je-li K ≤ 0). Důkaz je hotov.
