Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění II
Úloha číslo: 831
(a) Dokažte, že následující identita
\[A^n-B^n = (A-B)\left(A^{n-1} + A^{n-2}B + \ldots + AB^{n-2} + B^{n-1}\right)\]platí pro každé přirozené číslo n a reálná čísla A a B.
(b) Použijte předchozí identitu pro důkaz identity platné pro usměrnění rozdílu n-tých odmocnin
\[\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y} = \frac{x-y}{\sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}y} + \ldots + \sqrt[n]{xy^{n-2}} + \sqrt[n]{y^{n-1}}}\]platné pro libovolné přirozené číslo n a kladná reálná čísla x a y.
(c) S její pomocí spočtěte limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[6]{n^3+2n} - \sqrt[6]{n^3+1}}{n^\alpha}\]v závislosti na hodnotě reálného parametru α.
Řešení
U části (a) stačí provést násobení na pravé straně, pro část (b) stačí provést substituci
\[A = \sqrt[n]{x}, \qquad B = \sqrt[n]{y},\]a použít odvozenou rovnost
\[A-B = \frac{A^n-B^n}{A^{n-1} + A^{n-2}B + \ldots + AB^{n-2} + B^{n-1}}.\](c) Chceme určit limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[6]{n^3+2n} - \sqrt[6]{n^3+1}}{n^\alpha}\]v závislosti na hodnotě reálného parametru α. Pomocí identity v části (b) můžeme psát
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[6]{n^3+2n} - \sqrt[6]{n^3+1}}{n^\alpha} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{(n^3+2n) - (n^3+1)}{n^\alpha}\cdot \] \[\cdot\frac{1}{\sqrt[6]{(n^3+2n)^5} + \sqrt[6]{(n^3+2n)^4}\sqrt[6]{(n^3+1)^1} + \ldots + \sqrt[6]{(n^3+2n)^1}\sqrt[6]{(n^3+1)^4} + \sqrt[6]{(n^3+1)^5}} = \]Vytknutím ze jmenovatele pak dostaneme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n - 1)}{n^\alpha}\cdot \frac{1}{n^{15/6}}\] \[\cdot\frac{1}{\sqrt[6]{(1+2/n^2)^5} + \sqrt[6]{(1+2/n^2)^4}\sqrt[6]{(1+1/n^3)^1} + \ldots + \sqrt[6]{(1+2/n^2)^1}\sqrt[6]{(1+1/n^3)^4} + \sqrt[6]{(1+1/n^3)^5}} = \]a podle věty o aritmetice limit díky tvrzení úlohy Limita pod odmocninou Idostáváme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n - 1)}{n^{\alpha+15/6}}\cdot\] \[\cdot\frac{1}{\sqrt[6]{(1+0)^5} + \sqrt[6]{(1+0)^4}\sqrt[6]{(1+0)^1} + \ldots + \sqrt[6]{(1+0)^1}\sqrt[6]{(1+0)^4} + \sqrt[6]{(1+0)^5}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n - 1)}{n^{\alpha+15/6}}\cdot\frac{1}{6} = \]dalším vytknutím z čitatele a úpravou získáme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n}{6n^{\alpha+15/6}}\cdot\left(1-1/2n\right) = \]a opětovným použitím věty o aritmetice limit a úpravou prvního zlomku
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{3}n^{1-\alpha-15/6} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{3}n^{-\alpha-9/6} = \] \[ = \left\{\begin{array}{ll} 1/3 & \alpha = -9/6 = -3/2 \\ +\infty & \alpha < -3/2 \\ 0 & \alpha > -3/2 \end{array}\right. \]
