Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita geometrické posloupnosti I
Úloha číslo: 841
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}} = \]Z čitatele i jmenovatele vytkneme mocninu s největším základem
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{3^n}{3^{n+1}}\cdot \frac{(-\frac{2}{3})^n + 1}{(-\frac{2}{3})^{n+1} + 1} = \]upravíme a opakovaně použijeme větu o aritmetice limit
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1}{3}\cdot \frac{(-\frac{2}{3})^n + 1}{(-\frac{2}{3})^{n+1} + 1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1}{3}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{(-\frac{2}{3})^n + 1}{(-\frac{2}{3})^{n+1} + 1} = \] \[ = \frac{1}{3}\cdot \frac{\lim_{\small n\to\infty} (-\frac{2}{3})^n + \lim_{\small n\to\infty} 1}{\lim_{\small n\to\infty} (-\frac{2}{3})^{n+1} + \lim_{\small n\to\infty} 1}\]a nyní použijeme výsledku úlohy Limita geometrické posloupnosti, který říká, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^n = 0,\]neboť –2/3 jsou v absolutní hodnotě menší než 1. Z toho důvodu je také
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1} = \lim_{\small n\to\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^n \cdot\left(-\frac{2}{3}\right) = 0 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 0.\]Z toho máme, že
\[ \frac{1}{3}\cdot \frac{\lim_{\small n\to\infty} (-\frac{2}{3})^n + \lim_{\small n\to\infty} 1}{\lim_{\small n\to\infty} (-\frac{2}{3})^{n+1} + \lim_{\small n\to\infty} 1} = \] \[ = \frac{1}{3}\cdot \frac{0+1}{0+1} = \frac{1}{3}.\]Protože výsledek dává smysl, bylo používání věty o aritmetice limit korektní.
