Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti a limita funkce I.

Úloha číslo: 1229

• Rozbor

  Limita lze řešit pomocí klasických metod limit posloupnosti. Vypočteme ji ale jako limitu funkce podle Heineho věta, což je snazší.

• Nápověda 1

  Všimněte si, že \(n\) je proměnná a \(x\) je parametr.

  Proveďte exponenicální trik na \(\sqrt[n]{x}\) a dále vhodně rozšiřte, aby bylo možné použít důležitou limitu pro exponeciálu

  \[ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

• Řešení nápovědy 1

  Užijeme exponenciální trik \(a = e^{\ln{a}}\) pro část výrazu \(\sqrt[n]{x}\) \[ \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\sqrt[n]{x}-1\right)= \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(e^{\ln \sqrt[n]{x} }-1\right)= \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(e^\frac{\ln x }{n}-1\right). \] Vhodně rozšíříme za účelem převedení na důležitou limitu pro exponenciálu \[\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad\mathrm{tj.}\] \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\left(n\cdot\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot {\frac{\ln x }{n}}\right)= \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \ln x\right). \]

• Nápověda 2

  Ověřte podmínku (P) pro substituci do limit dle Věta o limitě složené funkce, současně užijte větu o aritmetice limit a limitu dopočítejte.

• Řešení nápovědy 2

  Ověříme podmínku (P) pro substituci do limit dle Věta o limitě složené funkce \[ \mathrm{Platí}~\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln x}{n} =0\mathrm{~a~existuje~prstencové~okolí~+\infty~takové,\\že~}\frac{\ln x}{n}\neq 0.\mathrm{~Takovým~okolím~je~například~interval~}\left(1,+\infty\right). \] Dle věty o aritmetice limit, bude-li mít výraz smysl, lze psát \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \ln x \right)= \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x. \] Dle věty o aritmetice limit, kde jsme ověřili podmínku (P) \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x= \lim\limits_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x. \] Užitím známé limity pro exponenciálu limitu dopočítáme \[ \lim\limits_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x = 1\cdot\ln x = \ln x. \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Užijeme exponenciální trik \(a = e^{\ln{a}}\) pro část výrazu \(\sqrt[n]{x}\) \[ \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\sqrt[n]{x}-1\right)= \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(e^{\ln \sqrt[n]{x} }-1\right)= \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(e^\frac{\ln x }{n}-1\right). \] Vhodně rozšíříme za účelem převedení na důležitou limitu pro exponenciálu \[\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad\mathrm{tj.}\] \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\left(n\cdot\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot {\frac{\ln x }{n}}\right)= \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \ln x\right). \] Ověříme podmínku (P) pro substituci do limit dle Věta o limitě složené funkce \[ \mathrm{Platí}~\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln x}{n} =0\mathrm{~a~existuje~prstencové~okolí~+\infty~takové,\\že~}\frac{\ln x}{n}\neq 0.\mathrm{~Takovým~okolím~je~například~interval~}\left(1,+\infty\right). \] Dle věty o aritmetice limit, bude-li mít výraz smysl, lze psát \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \ln x \right)= \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x. \] Dle věty o aritmetice limit, kde jsme ověřili podmínku (P) \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{e^\frac{\ln x }{n}-1}{\frac{\ln x }{n}}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x= \lim\limits_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x. \] Užitím známé limity pro exponenciálu limitu dopočítáme \[ \lim\limits_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}\cdot \lim\limits_{n\to+\infty} \ln x = 1\cdot\ln x = \ln x. \]

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\sqrt[n]{x}-1\right)=\ln x,\qquad\mathrm{kde}~x\gt 0. \]