Limita goniometrické funkce III.
Úloha číslo: 1185
Rozbor
Přímé dosazení \(x = 0\) nevede k cíli. V příkladu se vyskytují funkce \(\cos\), ve jmenovateli je navíc \(x^2\), je tedy pravděpodobné, že využijeme známé limity: \[ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\mathrm{,} \tag{1}\] jejíž odvození spolu s dalšími důležitými limitami naleznete v příkladu Přehled používaných užívaných limit funkcí.V zadání se vyskytují funkce \(\cos\), jejichž argumenty tvoří součet. Bude tedy třeba použít i součtové vzorce goniometrických funkcí.
Připravenou mějme i větu o aritmetice limit.
Nápověda 1
Připomeňte si součtový vzorec: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta\mathrm{,} \] a s jeho pomocí se zbavte všech součtů v argumentech goniometrických funkcí.Nápověda 2
Některé goniometrické funkce ve výrazu obsahují dvojnásobné argumenty. Osvěžte si vztahy: \[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\mathrm{,}\] \[\sin 2x = 2\sin x \cos x\mathrm{,}\] a jejich užitím výraz upravte tak, aby dvojnásobné argumenty funkcí neobsahoval.Nápověda 3
Díky přemístění \(\cos a\) lze ze závorky \((-\cos a\sin^2 x+\cos a)\) vytknout \(\cos a\). Po vytknutí je možné výraz v závorce zjednodušit použitím vztahu: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1\mathrm{.} \] Proveďte.Nápověda 4
Všiměte si, že v čitateli zlomku
- první a třetí člen obsahuje \(2\cos a \cos x\),
- druhý a čtvrtý člen obsahuje \(2\sin a \sin x\).
\( \hspace{24px}\lim_{x\to 0} \frac{2\cos a\cos^2 x-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}\)
Společnou část pro obě dvojice členů vytkněte a výraz dále upravte.
Nápověda 5
Dle věty o aritmetice limit limitu „roztrhněte“ na dvě. Takto vzniklé limity v součinu dořešte, použijte limitu: \[ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\mathrm{.} \]CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Použítím součtového vzorce pro \(\cos(\alpha + \beta)\) dostaneme:
\[\lim_{x\to 0} \frac{\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a}{x^2} =\] \[= \lim_{x\to 0} \frac{\cos a\cos 2x-\sin a\sin 2x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x+\cos a}{x^2}\mathrm{.}\]Dle vztahů pro dvojnásobný argument rozložíme členy \(\cos 2x\) a \(\sin 2x\) a následně člen \(\cos a\) vhodně přesuneme:
\(\hspace{16px}\lim_{x\to 0} \frac{\cos a\cos 2x-\sin a\sin 2x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x+\cos a}{x^2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{\cos a(\cos^2 x - \sin^2 x)-2\sin a \sin x \cos x -2\cos a\cos x+2\sin a\sin x+\cos a}{x^2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{\cos a\cos^2 x+(-\cos a\sin^2 x+\cos a)-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}\mathrm{.}\)
Ze závorky \((-\cos a\sin^2 x+\cos a)\) vytkneme \(\cos a\), dále upravíme pomocí vztahu pro goniometrickou jedničku a sečteme:
\(\hspace{16px} \lim_{x\to 0} \frac{\cos a\cos^2 x+(-\cos a\sin^2 x+\cos a)-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{\cos a\cos^2 x+\cos a(-\sin^2 x+1)-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{\cos a\cos^2 x+\cos a\cos^2 x-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{2\cos a\cos^2 x-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}\mathrm{.}\)
První a třetí člen čitatele obsahuje \(2\cos a \cos x\), druhý a čtvrtý \(2\sin a \sin x\). Společné části z obou členů vytkneme a dalším vytýkáním získáme součin:
\( \hspace{16px}\lim_{x\to 0} \frac{2\cos a\cos^2 x-2\sin a\sin x\cos x-2\cos a\cos x+2\sin a\sin x}{x^2}=\)
\(=\lim_{x\to 0} \frac{2\cos a\cos x(\cos x-1)-2\sin a\sin x(\cos x-1)}{x^2} =\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{2(\cos x-1)(\cos a\cos x-\sin a\sin x)}{x^2} \mathrm{.}\)
Užitím věty o aritmetice limit limitu „roztrháme“ a přepíšeme součtový vzorec:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{2(\cos x-1)(\cos a\cos x-\sin a\sin x)}{x^2} = \] \[ = \lim_{x\to 0} 2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{(\cos x-1)}{x^2}\cdot \lim_{x\to 0} \left(\cos a\cos x-\sin a\sin x\right) = \] \[ = \lim_{x\to 0} 2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{(\cos x-1)}{x^2}\cdot \lim_{x\to 0}\cos(a+x) \mathrm{.} \]Použitím důležité limity \( \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2} \) a dosazením dostáváme:
\[ \lim_{x\to 0} 2 \cdot \lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos x-1}{x^2}\right)\cdot \lim_{x\to 0}\cos(a+x) = 2\cdot \frac{-1}{2}\cdot \cos a = -\cos a \mathrm{.} \]Výsledek
\[ \lim\limits_{x\to 0} \displaystyle \frac{\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a}{x^2}=-\cos a\mathrm{.} \]
