Limita rekurentně zadané posloupnosti IV
Úloha číslo: 877
Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy
\[x_0 \, >\, 0, \qquad x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)\]a pokud existuje, určete ji v závislosti na hodnotě parametru x0 !
Řešení
Ukážeme, že posloupnost je omezená a monotónní, tedy konvergentní. Označíme-li potom její limitu L, musí platit
\[\lim x_{n+1} = \lim \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)\]a tudíž
\[L = \lim \frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right)\]odkud plyne, že
\[L = \frac{1}{L},\] \[L^2 = 1.\]Zřejmě tedy limitou může být pouze číslo –1 nebo +1. Protože x0 > 0, jsou všechny členy posloupnosti nezáporné (díky rekurentnímu vzorci), a tedy minus jednička limitou být nemůže.
Zbývá dokázat, že posloupnost je konvergentní. K tomu stačí dokázat, že je monotónní a omezená. Podle nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem (viz úlohu AG nerovnost) vyplývá, že pro libovolné a > 0 je
\[\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \geq \sqrt{a\cdot\frac{1}{a}} = 1,\]a tedy platí, že libovolný člen posloupnosti s výjimkou x0$ je větší než 1.
\[x_{n+1}-x_n = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right) - x_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1-x_n^2}{x_n}\right) \leq 0.\]Odtud plyne, že posloupnost je nerostoucí (alespoň od druhého členu počínaje). Odtud také plyne, že je omezená, nebo platí, že
\[0 < x_n \leq \max\{x_0,x_1\}.\]Což bylo dokázati.
