Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita rekurentně zadané posloupnosti IV

Úloha číslo: 877

Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy

\[x_0 \, >\, 0, \qquad x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)\]

a pokud existuje, určete ji v závislosti na hodnotě parametru x0 !

  • Řešení

    Ukážeme, že posloupnost je omezená a monotónní, tedy konvergentní. Označíme-li potom její limitu L, musí platit

    \[\lim x_{n+1} = \lim \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)\]

    a tudíž

    \[L = \lim \frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right)\]

    odkud plyne, že

    \[L = \frac{1}{L},\] \[L^2 = 1.\]

    Zřejmě tedy limitou může být pouze číslo –1 nebo +1. Protože x0 > 0, jsou všechny členy posloupnosti nezáporné (díky rekurentnímu vzorci), a tedy minus jednička limitou být nemůže.

    Zbývá dokázat, že posloupnost je konvergentní. K tomu stačí dokázat, že je monotónní a omezená. Podle nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem (viz úlohu AG nerovnost) vyplývá, že pro libovolné a > 0 je

    \[\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \geq \sqrt{a\cdot\frac{1}{a}} = 1,\]

    a tedy platí, že libovolný člen posloupnosti s výjimkou x0$ je větší než 1.

    \[x_{n+1}-x_n = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right) - x_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1-x_n^2}{x_n}\right) \leq 0.\]

    Odtud plyne, že posloupnost je nerostoucí (alespoň od druhého členu počínaje). Odtud také plyne, že je omezená, nebo platí, že

    \[0 < x_n \leq \max\{x_0,x_1\}.\]

    Což bylo dokázati.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze