Rozklad na parciální zlomky V.
Úloha číslo: 1484
Na parciální zlomky rozlož výraz
\[\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}\]Motivace
V úlohách Rozklad na parciální zlomky I., Rozklad na parciální zlomky II. a Rozklad na parciální zlomky III. jsme si ukázali, jak si poradit s rozklady všech možných typů racionálních lomených výrazů nad reálnými čísly zvlášť. Tato úloha poslouží k procvičení námi nabytých dovedností.
Jak k problematice parciálních zlomků přistupovat obecněji?
Základem je rozklad na součin polynomu ve jmenovateli zlomku. Což vždy provedíme jako první.
Za pomoci získaného rozkladu vytvoříme smyslupný rozklad na parciální zlomky v obecné podobě. Přičemž se držíme zásady, že stupeň polynomu v čitateli námi navrhovaného parciálního zlomku je o jedna nižší než stupeň polynomu ve jmenovateli téhož parciálního zlomku.
Vzniká nám tak jistá libovůle ve volbě podoby jednotlivých členů navrhovaného rozkladu. Dbejme přitom však omezující podmínky, že společný jmenovatel navrhovaných parciálních zlomků musí být polynomem ze jmenovatele původního zlomku.
Součinový tvar
Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.
Rozklad na parciální zlomky
S využitím získaného rozkladu na součin polynomu ze jmenovatele výrazu připravte obecný rozklad výrazu na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.
Konkrétní podoba rozkladu
Pomocí metody porovnávání koeficientů určete konstanty \(A,B,C\) tak, aby platila rovnsot výše.
Řešení
Začneme převodem polynomu ze jmenovatele výrazu na součinový tvar
\[x^3-x^2+x-1\]Zkusmým ověřením zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0\]Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2+x-1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).
Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2+x-1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x-1}{x-1}=\frac{{x^2(x-1)+(x-1)}}{x-1}=\] \[=\frac{{x^2(x-1)}}{x-1}+\frac{(x-1)}{x-1}=x^2+1\]Jelikož je polynom \(x^2+1\) ireducibilní \((D>0)\), bude výsledný součinový tvar polynomu ze jmenovatele vypadat následovně
\[x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)\]Díky námi provedeném rozkladu polynomu ze jmenovatele výrazu, můžeme celý výraz přepsat jako
\[\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}\]Podržíme-li se zásady, že pro navrhovaný parciální zlomek platí, že stupeň polynomu v čitateli musí být o jedna nižší než polynomu v příslušném jmenovateli, bude návrh rozkladu výrazu na parciální zlomky vypadat následovně
\[\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}\]Získaný obecný rozklad lehce připravíme pro metodu porovnávání koeficientů.
Obě strany rovnosti přenásobíme výrazem \((x-1)(x^2+1)\) a získáme tak
\[3x^2-2x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)\]závorky roznásobíme
\[3x^2-2x+1=Ax^2+A + Bx^2-Bx+Cx-C\] \[3x^2-2x+1=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)\]aby rovnost platila musí platit následující tři podmínky
\[3=A+B\] \[-2=C-B\] \[1=A-C\](polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě i korespondující si koeficienty)
Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Řešení získáme buď eliminační nebo dosazovací metodou.
Z první a druhé rovnice získáváme
\[A=3-B\] \[C=B-2\]po dosazení do třetí rovnice obdržíme
\[1=3-B-B+2\] \[-4=-2B\] \[B=2\]a následnou zpětnou substitucí pak i zbývající koeficienty
\[A=1\] \[C=0\]Výsledná podoba příslušného rozkladu bude po dosazení vypadat následovně
\[\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{2x}{(x^2+1)}\]Výsledek
\[\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{2x}{(x^2+1)}\]Další úloha v sérii
