Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny III
Úloha číslo: 825
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+1}}}}{\sqrt{n+1}}\]Nápověda
Postupně od nejvnitřnější odmocniny vytýkejte vždy nejvyšší mocninu n.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+1}}}}{\sqrt{n+1}}.\]Postupným vytýkáním dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+1}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}}}{\sqrt{1+1/n}} = \]přičemž pomocí věty o aritmetice limit a postupnou aplikací částí (a), (b) úlohy Limita pod odmocninou I lze odůvodnit, že lze limitit pod každou odmocninou zvlášť. Dostaneme tak
\[ = \frac{\sqrt{1+\sqrt{0}\sqrt{1+\sqrt{0}\sqrt{1+0}}}}{\sqrt{1+0}} = \frac{1}{1} = 1.\]Komentář k limitě uvnitř složené odmocniny (postup zvenčí)
Odůvodněme trochu podrobněji, že v čitateli počítané limity, tj. ve výrazu
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}}\]lze limitu opravdu počítat limitěním uvnitř každé odmocniny. Použijeme k tomu opakovaně větu o aritmetice limit a částí (a), (b) úlohy Limita pod odmocninou I.
Zmiňovaná tvrzení (a), (b) nám říkají, že pokud limita výrazu pod vnější odmocninou, tj. limita
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}\right)\]je kladná či nulová (výraz je zjevně nezáporný), pak lze prohodit pořadí odmocniny a limity, tj. platí
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}} = \] \[ = \sqrt{\lim_{\small n\to\infty} \left(1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}\right)} = \]což pomocí věty o aritmetice limit můžeme upravit na tvar
\[ = \sqrt{1+\lim_{\small n\to\infty} \left(\sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}\right)} =\]a znovu pomocí věty o aritmetice limit můžeme upravit na tvar
\[ = \sqrt{1+\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1/n} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}} =\]přičemž jednu limitu umíme vyčíslit podle části (b) úlohy Limita pod odmocninou I, tudíž dostaneme
\[ = \sqrt{1+0\cdot \lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}}.\]Pozor, zde úloha ještě nekončí! Aby použití věty o aritmetice limit bylo korektní, musíme ukázat, že zbylá limita
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}\]má smysl a není rovna nekonečnu. Je-li ovšem tomu tak, potom máme odůvodněnu korektnost všech dosavadních kroků, neboť potom je samozřejmě
\[\sqrt{1+0\cdot \lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}} = \sqrt{1+0} = 1.\]Poslední výraz dává smysl je kladný, což zpětně odůvodňuje oprávněnost všech provedených úprav – pokud se nám podaří vypořádat se zbylou limitou výše
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}.\]Připomeňme, že potřebujeme ukázat, že existuje a je to nezáporné reálné číslo. Ale k tomu účelu je nejjednodušší ji prostě spočítat.
Opět pomocí tvrzení (a) úlohy Limita pod odmocninou I tvrdíme, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}} = \] \[ = \sqrt{\lim_{\small n\to\infty} \left(1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}\right)},\]což je pravda, dokážeme-li, že limita uvnitř
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}\right)\]je vlastní a nezáporná. Podle věty o aritmetice limit opět můžeme psát
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} 1+\lim_{\small n\to\infty}\sqrt{1/n}\cdot \lim_{\small n\to\infty}\sqrt{1+1/n} = 1 + \sqrt{0} + \sqrt{1+0} = 1+1 = 2, \]přičemž poslední dvě limity lze spočítat opět pomocí tvrzení (b) a (a) úlohy Limita pod odmocninou I. Tím je ale oprávněné poslední použití věty o aritmetice limit, tím a konečným výsledkem i předchozí použití tvrzení (a takto postupujeme zpětně od jednoho tvrzení ke druhému).
Komentář k limitě uvnitř složené odmocniny (postup zevnitř)
Pokud už ovšem provádíme pečlivé zdůvodnění, je o něco méně pracné postupovat zevnitř, tj. limity postupně přidávat od vnitřní odmocniny.
Podle tvrzení (b) úlohy Limita pod odmocninou I platí
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1/n} = \sqrt{0} = 0,\]podle tvrzení (a) úlohy Limita pod odmocninou I platí
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+1/n} = \sqrt{1+0} = 1.\]Podle věty o aritmetice limit a předchozích výsledků pak platí
\[\lim_{\small n\to\infty} 1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n} = \lim_{\small n\to\infty} 1+\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1/n}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+1/n} = \] \[ = 1+0{\cdot} 1 = 1.\]Opět podle tvrzení (a) úlohy Limita pod odmocninou I a předchozího výsledku máme tudíž
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}} = \sqrt{\lim_{\small n\to\infty} 1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}} = \sqrt{1} = 1.\]Podle věty o aritmetice limit a předchozího výsledku máme
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(1 + \sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} 1 + \lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1/n} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}} = 1+\sqrt{0}\cdot 1 = 1.\]A naposled použitím tvrzení (a) úlohy Limita pod odmocninou I dostaneme, že limita celého čitatele je
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt{1 + \sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}} = \] \[ = \sqrt{\lim_{\small n\to\infty}\left(1 + \sqrt{1/n}\sqrt{1+\sqrt{1/n}\sqrt{1+1/n}}\right)} = \sqrt{1} = 1. \]
