Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny II
Úloha číslo: 824
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n+\sqrt[4]{(n+1)^3}-2\sqrt{n^2-1}}{4\sqrt[3]{n^3-1}-\sqrt[8]{(n-1)^7}-n}\]Nápověda
Vytkněte nejvyšší mocninu n ze všech odmocnin a nejvyšší z nich poté vytkněte opět z celého čitatele i jmenovatele.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n+\sqrt[4]{(n+1)^3}-2\sqrt{n^2-1}}{4\sqrt[3]{n^3-1}-\sqrt[8]{(n-1)^7}-n}.\]Postupným vytýkáním dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n+\sqrt[4]{(n+1)^3}-2\sqrt{n^2-1}}{4\sqrt[3]{n^3-1}-\sqrt[8]{(n-1)^7}-n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n+\sqrt[4]{n^3}\sqrt[4]{(1+1/n)^3}-2\sqrt{n^2}\sqrt{1-1/n^2}}{4\sqrt[3]{n^3}\sqrt[3]{1-1/n^3}-\sqrt[8]{n^7}\sqrt[8]{(1-1/n)^7}-n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n+\sqrt[4]{n^3}\sqrt[4]{(1+1/n)^3}-2n\sqrt{1-1/n^2}}{4n\sqrt[3]{1-1/n^3}-\sqrt[8]{n^7}\sqrt[8]{(1-1/n)^7}-n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n}{n}\cdot\frac{1+\sqrt[4]{1/n}\sqrt[4]{(1+1/n)^3}-2\sqrt{1-1/n^2}}{4\sqrt[3]{1-1/n^3}-\sqrt[8]{1/n}\sqrt[8]{(1-1/n)^7}-1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1+\sqrt[4]{1/n}\sqrt[4]{(1+1/n)^3}-2\sqrt{1-1/n^2}}{4\sqrt[3]{1-1/n^3}-\sqrt[8]{1/n}\sqrt[8]{(1-1/n)^7}-1} = \]a nyní podle věty o aritmetice limit a částí (a), (b) úlohy Limita pod odmocninou I můžeme limitit pod každou odmocninou zvlášť, dostaneme tak
\[ = \frac{1+\sqrt[4]{0}\sqrt[4]{(1+0)^3}-2\sqrt{1-0}}{4\sqrt[3]{1-0}-\sqrt[8]{0}\sqrt[8]{(1-0)^7}-1} = \frac{1-2}{4-1} = -\frac{1}{3}.\]
