Limity racionálních posloupností
Úloha číslo: 783
Určete následující limity.
(a) \(\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2 + 3n + 2}{n^2 - 4}\)
(b) \(\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^3 + 2n^2 + 5}{n^4 - 2n^2}\)
(c) \(\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^4 + 2}{n - 1}\)
Návod
Vytkněte n s nejvyšším mocnitelem v čitateli i jmenovateli.
Řešení
(a) Nejprve vytkneme nejvyšší mocninu z čitatele i jmenovatele a zkrátíme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2 + 3n + 2}{n^2 - 4} = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 - \frac{4}{n^2}} = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 - \frac{4}{n^2}}\]a poté použijeme opakovaně větu o aritmetice limit. Nejprve větu o limitě podílu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 - \frac{4}{n^2}} = \frac{\lim_{\small n\to\infty} (1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})}{\lim_{\small n\to\infty} (1 - \frac{4}{n^2})}\]a poté větu o limitě součtu, resp. rozdílu
\[\frac{\lim_{\small n\to\infty} (1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})}{\lim_{\small n\to\infty} (1 - \frac{4}{n^2})} = \frac{\lim_{\small n\to\infty} 1 + \lim_{\small n\to\infty} \frac{3}{n} + \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{n^2}}{\lim_{\small n\to\infty} 1 - \lim_{\small n\to\infty} \frac{4}{n^2}} = \frac{1+0+0}{1-0} = 1.\]Použití věty o aritmetice limit bylo korektní, protože konečný výraz po provedení všech limit má smysl (je roven jedné).
(b) Postup je podobný jako v případě (a). Nejdříve vytkneme nejvyšší mocninu v čitateli i jmenovateli
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^3 + 2n^2 + 5}{n^4 - 2n^2} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^3}{n^4} \cdot \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{5}{n^3}}{1 - \frac{2}{n^2}}\]a po zkrácení použijeme postupně větu o limitě součinu, na pravý zlomek posléze větu o limitě podílu a na čitatel a jmenovatel větu o limitě součtu či rozdílu (zobecněnou na libovolný konečný počet sčítanců).
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^3}{n^4} \cdot \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{5}{n^3}}{1 - \frac{2}{n^2}} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{5}{n^3}}{1 - \frac{2}{n^2}} = \] \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{\lim_{\small n\to\infty} 1 + \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{n} + \lim_{\small n\to\infty} \frac{5}{n^3}}{\lim_{\small n\to\infty} 1 - \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{n^2}} = 0\cdot \frac{1+0+0}{1-0} = 0{\cdot} 1 = 0.\](c) Použijeme shodný postup jako v předchozích případech. Nejdříve vytkneme nejvyšší mocninu v čitateli i jmenovateli
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^4 + 2}{n - 1} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^4}{n}\cdot \frac{1 + \frac{2}{n^4}}{1 - \frac{1}{n}}\]a po zkrácení použijeme postupně větu o limitě součinu, na pravý zlomek posléze větu o limitě podílu a na čitatel a jmenovatel větu o limitě součtu či rozdílu (zobecněnou na libovolný konečný počet sčítanců).
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^4}{n}\cdot \frac{1 + \frac{2}{n^4}}{1 - \frac{1}{n}} = \lim_{\small n\to\infty} n^3\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1 + \frac{2}{n^4}}{1 - \frac{1}{n}} =\] \[\lim_{\small n\to\infty} n^3\cdot \frac{\lim_{\small n\to\infty} 1 + \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{n^4}}{\lim_{\small n\to\infty} 1 - \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n}} = +\infty \cdot \frac{1+0}{1-0} = +\infty\cdot 1 = +\infty.\]Na závěr poznamenejme, že (opakované) použití věty o aritmetice limit (zobecněné na konečný počet sčítanců) bylo korektní. Po provedení všech limit jsme získali výraz +∞ · 1, který je podle pravidel o počítaní s nekonečny definován (tj. má smysl) a je roven plus nekonečnu.
Komentář
Všechny limity posloupností tohoto typu — ve tvaru podílu dvou polynomů — lze řešit stejným způsobem, to je vytknutím nejvyšší mocniny z čitatele i jmenovatele. Získáme tak součin dvou výrazů, kde jeden je výraz s vlastní limitou různou od nuly. Navíc o hodnotě této limity rozhodují pouze členy, které měly v čitateli a jmenovateli původního zlomku před vytknutím onu nejvyšší mocninu.
Druhý člen buď po zkrácení zmizí, to pokud vytýkáme stejnou mocninu z čitatele i jmenovatele, anebo je roven n umocněnému na kladnou či zápornou mocninu. Podle toho je limita prvního členu rovna jedné, plus nekonečnu nebo nule. Součin je výraz, který tak či onak dává smysl.
Výsledná limita může být rovna libovolnému reálnému číslu, které je různé od nuly v případě, že polynom v čitateli i jmenovateli má stejný stupeň, a rovné nule v případě, že jmenovatel má vyšší stupeň než jmenovatel. Pokud má naopak čitatel vyšší stupeň než jmenovatel, potom je limita zlomku nevlastní.
