Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty
Úloha číslo: 811
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(3n+2)^{10}-(3n-1)^{10}}{n^9}\]Návod: V čitateli stačí určit člen s nejvyšší mocninou, který zůstane po odečtení obou umocněných závorek. K němu lze dojít tak, že budete pomocí binomické věty psát postupně členy vzniklé umocněním obou závorek od nejvyšší mocniny k nejnižší a můžete přestat ve chvíli, kdy se vzájemně neodečtou.
Definice faktoriálu a kombinačního čísla
Faktoriál přirozeného čísla n značíme n! a definujeme jej jako součin všech přirozených čísel od jedničky do n, tedy
\[n! = 1{\cdot} 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\]Též definujeme faktoriál nuly jako jedničku
\[0! = 1.\]Kombinační číslo n nad k značíme
\[\binom{n}{k}\]a definujeme jej pro n a k přirozená nebo nulová s podmínkou, že n ≥ k, předpisem
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!}.\]Odtud plyne např., že
\[\binom{n}{0} = \frac{n!}{(n-0)!\,0!} = \frac{n!}{n!\cdot 1} = 1.\]Pokud n a k jsou (nenulová) přirozená čísla, pak platí
\[k! = 1{\cdot} 2\cdot \ldots \cdot k\]a
\[\frac{n!}{(n-k)!} = \frac{1{\cdot} 2\cdot \ldots \cdot (n-k)\cdot(n-k+1)\cdot(n-k+2)\cdot\ldots \cdot (n-1)\cdot n}{1{\cdot} 2\cdot \ldots \cdot (n-k)} =\] \[= (n-k+1)\cdot(n-k+2)\cdot\ldots\cdot (n-1)\cdot n =\] \[= n(n-1)\cdots (n-k+2)(n-k+1),\]lze kombinační číslo psát ve tvaru
\[\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{1{\cdot} 2\cdot\ldots\cdot (k-1)\cdot k}\]Z posledního vztahu vyplývá pravidlo pro jiný způsob zápisu kombinačního čísla, které je rovno zlomku, v jehož čitateli je součin přirozených čísel od n počínaje přes následujících k menších a v jehož jmenovateli je součin přirozených čísel od jedné do k. Např. tedy
\[\binom{n}{1} = \frac{n}{1},\] \[\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{1{\cdot} 2},\] \[\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{1{\cdot} 2\cdot 3},\] \[\binom{n}{4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1{\cdot} 2\cdot 3{\cdot} 4},\]atd.
Binomická věta
Nechť a, b jsou reálná čísla a n je přirozené číslo. Binomická věta tvrdí, že
\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}.\]Tuto rovnost lze vyjádřit také takto:
\[(a+b)^n = \] \[ = \binom{n}{0}a^nb^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{3}a^{n-3}b^3 + \ldots + \binom{n}{n}a^0b^n=\] \[ = a^n + \frac{n}{1}a^{n-1}b^1 + \frac{n(n-1)}{1{\cdot} 2}a^{n-2}b^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1{\cdot} 2\cdot 3}a^{n-3}b^3 + \ldots + b^n.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(3n+2)^{10}-(3n-1)^{10}}{n^9}.\]Podle binomické věty můžeme psát, že
\[(3n+2)^{10} = (3n)^{10} + 10\cdot (3n)^9 {\cdot} 2^1 + V(n),\]kde V(n) je mnohočlen nejvýše osmého stupně (u n je nejvýše osmá mocnina).
Též podle binomické věty můžeme psát, že
\[(3n-1)^{10} = (3n)^{10} + 10\cdot (3n)^9 \cdot (-1)^1 + W(n),\]kde W(n) je opět mnohočlen nejvýše osmého stupně (u n je nejvýše osmá mocnina).
Pomocí obou rovností pak můžeme limitu upravit na tvar
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(3n+2)^{10}-(3n-1)^{10}}{n^9} = \] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{(3n)^{10} + 20\cdot (3n)^9+V(n)-[(3n)^{10}-10\cdot (3n)^9+W(n)]}{n^9} = \] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{30\cdot (3n)^9+V(n)-W(n)}{n^9} = \]a podle věty o aritmetice limit máme
\[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{30\cdot (3n)^9}{n^9}+\lim_{\small n\to\infty} \frac{V(n)-W(n)}{n^9} = \] \[= \lim_{\small n\to\infty} 30{\cdot} 3^9+\lim_{\small n\to\infty} \frac{V(n)-W(n)}{n^9} = \]přičemž první limita je limitou konstatní posloupnosti a druhá je nulová podle úlohy Limita obecné racionální posloupnosti, neboť je limitou racionální posloupnosti, kde ve jmenovateli je mnohočlen vyššího stupně (9) než v čitateli (nejvýše 8). Tudíž
\[= 30{\cdot} 3^9+0 = 30{\cdot} 3^9.\]
