Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Odmocnina ze dvou je iracionální číslo (důkaz sporem)

Úloha číslo: 1927

Dokažte sporem, že \(\sqrt{2}\) je iracionální číslo

  • Důkaz sporem

    Dokazujeme-li sporem, pak namísto platnosti původní věty prokazujeme neplatnost její negace. V případě neplatnosti negace tvrzení totiž zcela nutně platí jeho původní znění.

    Při důkazu postupujeme tak, že z předpokladu platnosti negace dojdeme v posloupnosti správných úvah k logickému sporu.

  • Nápověda 1

    Protože postupujeme sporem, nejprve dokazovanou větu negujme a vyjděme z předpokladu platnosti získané negace.

  • Nápověda 2

    Zamysleme se, co přesně znamená, že \(\sqrt{2}\) je racionální číslo. Vzpomeňme si, jaký tvar nutně musejí mít tato čísla.

  • Nápověda 3

    V posloupnosti myšlenkově správných kroků nyní dojděme k logickému sporu s předpokladem, že \(p\), \(q\) jsou nesoudělná čísla.

  • Řešení

    Protože původní věta říká, že \(\sqrt{2}\) je iracionální číslo, bude její negace říkat opak. Konkrétně, budeme tvrdit, že \(\sqrt{2}\) není iracionální číslo.

    Zamyslíme-li se dále nad skladbou reálných čísel, dojde nám, že je můžeme považovat například za sjednocení navzájem disjunktních množin; množiny racionálních a množiny iracionálních čísel. Protože \(\sqrt{2}\) není iracionálním číslem, je tedy nutně číslem racionálním.

    Budeme tedy vycházet z předpokladu, že \(\sqrt{2}\) je racionální číslo.

    Protože je \(\sqrt{2}\) racionální číslo, je ji možno zapsat ve tvaru zlomku, tj. jako podíl dvou nesoudělných čísel \(p\), \(q\), konkrétněji

    \[\sqrt{2}=\frac{p}{q},\,\, p,\,q > 0\,.\]

    Získanou rovnost umocněme na druhou, abychom se zbavili odmocniny, získáme

    \[2=\frac{p^2}{q^2}\Rightarrow 2q^2=p^2\,.\]

    Poslední rovnost říká, že je \(p^2\) dvojnásobek \(q^2\), a tedy je dělitelné 2. To ale nutně znamená, že je i \(p\) d2litelné 2 a lze jej proto vyjádřit jako \(p = 2k, k\geq 0\).

    Rovnost za implikací tak přechází na

    \[2q^2=2^2k^2\Rightarrow q^2=2k\,.\]

    Stejnou úvahou jako v případě \(p\), docházíme k závěru, že i \(q\) je dělitelné 2.

    Čísla \(p,\,q\) jsou proto soudělná a my docházíme k logickému sporu s předpokladem, že jsou nesoudělná. Čislo \(\sqrt{2}\) tedy není racionální číslo a je tedy číslo iracionální, jak hlásá původní věta.

    Tímto je důkaz zdárně dokončen... QED

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená úvahou
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze