Sbírka řešených úloh

Odmocnina ze dvou je iracionální číslo (důkaz sporem)

Úloha číslo: 1927

• Důkaz sporem

  Dokazujeme-li sporem, pak namísto platnosti původní věty prokazujeme neplatnost její negace. V případě neplatnosti negace tvrzení totiž zcela nutně platí jeho původní znění.

  Při důkazu postupujeme tak, že z předpokladu platnosti negace dojdeme v posloupnosti správných úvah k logickému sporu.

• Nápověda 1

  Protože postupujeme sporem, nejprve dokazovanou větu negujme a vyjděme z předpokladu platnosti získané negace.

• Nápověda 1 řešení

  Protože původní věta říká, že \(\sqrt{2}\) je iracionální číslo, bude její negace říkat opak. Konkrétně, budeme tvrdit, že \(\sqrt{2}\) není iracionální číslo.

  Zamyslíme-li se dále nad skladbou reálných čísel, dojde nám, že je můžeme považovat například za sjednocení navzájem disjunktních množin; množiny racionálních a množiny iracionálních čísel. Protože \(\sqrt{2}\) není iracionálním číslem, je tedy nutně číslem racionálním.

  Budeme tedy vycházet z předpokladu, že \(\sqrt{2}\) je racionální číslo.

• Nápověda 2

  Zamysleme se, co přesně znamená, že \(\sqrt{2}\) je racionální číslo. Vzpomeňme si, jaký tvar nutně musejí mít tato čísla.

• Nápověda 2 řešení

  Protože je \(\sqrt{2}\) racionální číslo, je ji možno zapsat ve tvaru zlomku, tj. jako podíl dvou nesoudělných čísel \(p\), \(q\), konkrétněji

  \[\sqrt{2}=\frac{p}{q},\,\, p,\,q > 0\,.\]

• Nápověda 3

  V posloupnosti myšlenkově správných kroků nyní dojděme k logickému sporu s předpokladem, že \(p\), \(q\) jsou nesoudělná čísla.

• Nápověda 3 řešení

  Získanou rovnost umocněme na druhou, abychom se zbavili odmocniny, získáme

  \[2=\frac{p^2}{q^2}\Rightarrow 2q^2=p^2\,.\]

  Poslední rovnost říká, že je \(p^2\) dvojnásobek \(q^2\), a tedy je dělitelné 2. To ale nutně znamená, že je i \(p\) d2litelné 2 a lze jej proto vyjádřit jako \(p = 2k, k\geq 0\).

  Rovnost za implikací tak přechází na

  \[2q^2=2^2k^2\Rightarrow q^2=2k\,.\]

  Stejnou úvahou jako v případě \(p\), docházíme k závěru, že i \(q\) je dělitelné 2.

  Čísla \(p,\,q\) jsou proto soudělná a my docházíme k logickému sporu s předpokladem, že jsou nesoudělná. Čislo \(\sqrt{2}\) tedy není racionální číslo a je tedy číslo iracionální, jak hlásá původní věta.

  Tímto je důkaz zdárně dokončen... QED

• Řešení

  Protože původní věta říká, že \(\sqrt{2}\) je iracionální číslo, bude její negace říkat opak. Konkrétně, budeme tvrdit, že \(\sqrt{2}\) není iracionální číslo.

  Zamyslíme-li se dále nad skladbou reálných čísel, dojde nám, že je můžeme považovat například za sjednocení navzájem disjunktních množin; množiny racionálních a množiny iracionálních čísel. Protože \(\sqrt{2}\) není iracionálním číslem, je tedy nutně číslem racionálním.

  Budeme tedy vycházet z předpokladu, že \(\sqrt{2}\) je racionální číslo.

  Protože je \(\sqrt{2}\) racionální číslo, je ji možno zapsat ve tvaru zlomku, tj. jako podíl dvou nesoudělných čísel \(p\), \(q\), konkrétněji

  \[\sqrt{2}=\frac{p}{q},\,\, p,\,q > 0\,.\]

  Získanou rovnost umocněme na druhou, abychom se zbavili odmocniny, získáme

  \[2=\frac{p^2}{q^2}\Rightarrow 2q^2=p^2\,.\]

  Poslední rovnost říká, že je \(p^2\) dvojnásobek \(q^2\), a tedy je dělitelné 2. To ale nutně znamená, že je i \(p\) d2litelné 2 a lze jej proto vyjádřit jako \(p = 2k, k\geq 0\).

  Rovnost za implikací tak přechází na

  \[2q^2=2^2k^2\Rightarrow q^2=2k^2\,.\]

  Stejnou úvahou jako v případě \(p\), docházíme k závěru, že i \(q\) je dělitelné 2.

  Čísla \(p,\,q\) jsou proto soudělná a my docházíme k logickému sporu s předpokladem, že jsou nesoudělná. Čislo \(\sqrt{2}\) tedy není racionální číslo a je tedy číslo iracionální, jak hlásá původní věta.

  Tímto je důkaz zdárně dokončen... QED