Sbírka řešených úloh

Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima i minima

Úloha číslo: 1353

• Nápověda 1

  Dokažte, že existuje posloupnost {x_n} prvků intervalu [a, b] tak, že

  $$\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \sup_{x\in [a,b]} f(x).$$

• Řešení nápovědy 1

  Označme

  $$M = \sup_{x\in [a,b]} f(x).$$

  Z definice suprema vyplývá, že pro každé přirozené číslo n musí existovat prvek x_n v intervalu [a, b] takový, že

  $$M < f(x_n)+\frac{1}{n}.$$

  Pokud by to totiž pro nějaké přirozené n neplatilo, potom by bylo

  $$M-\frac{1}{2n} > M-\frac{1}{n}\geq f(x), \qquad \forall x\in [a,b]$$

  a tedy číslo $M-\frac{1}{2n}$ by bylo horní závorou množiny $f([a,b])$, což by byl spor s tím, že M je supremum množiny $f([a,b])$.

  Pokud pak položíme

  $$y_n = f(x_n)$$

  potom z definice limity máme, že

  $$\lim_{n\to\infty} y_n = \sup_{x\in [a,b]} f(x).$$

• Nápověda 2

  Ukažte, že z posloupnosti {x_n} lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou uvnitř intervalu [a, b].

• Řešení nápovědy 2

  První část tvrzení – že lze vybrat konvergentní podposloupnost – vyplývá přímo z Bolzano-Weierstrassovy věty, viz úlohu Bolzano-Weierstrassova věta, neboť posloupnost čísel {x_n} je zdola omezena číslem a a shora číslem b, je tedy omezená.

  Podle úlohy Věta o limitě posloupnosti a uspořádání pak víme, že limita této podposloupnosti, označme ji $\{x_{n_k}\}$, leží v intervalu [a, b]. Stačí dvakrát použít část (a) tvrzení zmíněné úlohy. Poprvé vystupuje posloupnost čísel $\{x_{n_k}\}$ v roli posloupnosti {a_k} a volímeb_k = b. Podle části (a) zmíněné úlohy totiž platí

  $$a_k\leq b_k \Longrightarrow \lim a_k \leq \lim b_k,$$

  po dosazení

  $$x_{n_k}\leq b \Longrightarrow \lim x_{n_k} \leq \lim b = b.$$

  Podruhé vystupuje posloupnost čísel $\{x_{n_k}\}$ v roli posloupnosti {b_k} a volímea_k = a. Podle části (a) zmíněné úlohy totiž platí

  $$a_k\leq b_k \Longrightarrow \lim a_k \leq \lim b_k,$$

  po dosazení

  $$a\leq x_{n_k} \Longrightarrow a = \lim a \leq \lim x_{n_k}.$$

• Nápověda 3

  Uvědomte si, že je-li posloupnost konvergentní, pak její podposloupnost konverguje k téže limitě. Nakonec využijte spojitosti funkce f.

• Řešení

  V rámci řešení nápovědy 1 jsme odvodili, že existuje posloupnost {x_n} taková, že

  $$\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \sup_{z\in [a,b]} f(z).$$

  Podle řešení nápovědy 2 lze z posloupnosti {x_n} vybrat konvergentní podposloupnost, označme ji $\{x_{n_k}\}$ a její limitu x. Tato limita navíc leží uvnitř intervalu [a, b].

  Z charakterizace spojitosti funkce f a Heineho věty (viz úlohu Heineho věta) máme, že

  $$f(x) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}).$$

  Protože posloupnost $\{f(x_{n_k})\}$ je vybranou z posloupnosti $\{f(x_{n})\}$, je dále

  $$f(x) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) =\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \sup_{z\in [a,b]} f(z)$$

  Funkce f tedy na intervalu [a, b] nabývá svého suprema, což je z definice číslo větší nebo rovné všem ostatním hodnotám funkce f na tomto intervalu. Je tedy nutně maximem.

  Co se týče důkazu, že funkce f nabývá také svého minima – funkce –f je také spojitá na intervalu [a, b], a tudíž podle úvah výše nabývá svého maxima, řekněme v bodě c. Potom ale

  $$-f(c) \geq -f(y) \qquad \forall y\in[a,b],$$

  a tudíž

  $$f(c) \leq f(y) \qquad \forall y\in[a,b],$$

  tedy v bodě c nabývá funkce f svého minima.