Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima i minima
Úloha číslo: 1353
Nechť a, b jsou reálná čísla taková, že a < b, a nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu [a, b]. Potom f nabývá na tomto intervalu své největší hodnoty (maxima) a své nejmenší hodnoty (minima).
Nápověda 1
Dokažte, že existuje posloupnost {xn} prvků intervalu [a, b] tak, že
\[\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \sup_{x\in [a,b]} f(x).\]Nápověda 2
Ukažte, že z posloupnosti {xn} lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou uvnitř intervalu [a, b].
Nápověda 3
Uvědomte si, že je-li posloupnost konvergentní, pak její podposloupnost konverguje k téže limitě. Nakonec využijte spojitosti funkce f.
Řešení
V rámci řešení nápovědy 1 jsme odvodili, že existuje posloupnost {xn} taková, že
\[\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \sup_{z\in [a,b]} f(z).\]Podle řešení nápovědy 2 lze z posloupnosti {xn} vybrat konvergentní podposloupnost, označme ji \(\{x_{n_k}\}\) a její limitu x. Tato limita navíc leží uvnitř intervalu [a, b].
Z charakterizace spojitosti funkce f a Heineho věty (viz úlohu Heineho věta) máme, že
\[f(x) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}).\]Protože posloupnost \(\{f(x_{n_k})\}\) je vybranou z posloupnosti \(\{f(x_{n})\}\), je dále
\[f(x) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) =\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \sup_{z\in [a,b]} f(z)\]Funkce f tedy na intervalu [a, b] nabývá svého suprema, což je z definice číslo větší nebo rovné všem ostatním hodnotám funkce f na tomto intervalu. Je tedy nutně maximem.
Co se týče důkazu, že funkce f nabývá také svého minima – funkce –f je také spojitá na intervalu [a, b], a tudíž podle úvah výše nabývá svého maxima, řekněme v bodě c. Potom ale
\[-f(c) \geq -f(y) \qquad \forall y\in[a,b],\]a tudíž
\[f(c) \leq f(y) \qquad \forall y\in[a,b],\]tedy v bodě c nabývá funkce f svého minima.
