Snižování řádu
Úloha číslo: 1891
Převeďte rovnici \(y''=-\frac{x}{y'}\) na rovnici prvního řádu.
Snižování řádu
Jak napovídá název podkapitoly, nyní si ukážeme, jak převést rovnici řádu \( n\) na rovnice řádu nižšího, které je obecně snazší řešit. Pokud to lze, můžeme řád rovnic snižovat i několikrát za sebou. Tento způsob někdy vede až k rovnici prvního řádu. Což je výhodné, neboť pro rovnice prvního řádu máme pestrou paletu dříve prezentovaných metod.
Nejsnáze lze snížit řád rovnici typu
\[y^{(n)}=f\left(x,y^{(m)},y^{(m+1)},\cdots , y^{(n-1)}\right) \,.\]Vystačíme si totiž se substitucí
\[z(x)=y^{m}(x) \,,\]po jejímž zavedení přechází řešená rovnice v rovnici
\[z^{(n-m)}=f\left(x,z,z',\cdots , z^{(n-m-1)}\right) \,,\]a tedy rovnici řádu \(n-m\). Následným řešením substitucí získané rovnice dojdeme k funkci \(z(x)\) a od ní pak zpět k hledané funkci \(y(x)\) pomocí užitého substitučního vztahu a \(m\)-násobné integrace
Substituce k nižšímu řádu
Pomocí vhodně substituce převeďte zadanou rovnici na rovnici nižšího řádu.
