Sbírka řešených úloh

Limita racionální funkce v nevlastním bodě I.

Úloha číslo: 1169

• Nápověda 1

  Při počítání limity racionální funkce v nevlastních bodech nejprve vytkneme nejvyšší mocninu v čitateli i jmenovateli.

• Řešení nápovědy 1

  V čitateli i jmenovateli je nejvyšším členem \(x^5\), vytkneme jej: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2x^5+7x+1}{3x^5-4x^3-x^2} = \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x^5}{x^5}\cdot \frac{2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}}{3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} \right)\mathrm{,} \] a vykrácením \(x^5\) získáme: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}}{3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} \mathrm{.} \]

• Nápověda 2

  Za předpokladu, že má výsledný výraz smysl, můžeme použít větu o aritmetice limit.

• Řešení nápovědy 2

  Užitím věty o aritmetice limit můžeme nejprve rozepsat limitu podílu jako podíl limit a následně limitu součtu v čitateli i jmenovateli na součet limit: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}}{3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = \frac{\lim_{x\to+\infty}{\left(2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}\right)}}{\lim_{x\to+\infty}\left(3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right)}= \] \[ =\dfrac{ \lim_{x\to+\infty} \left( 2\right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{7}{x^4} \right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^5} \right) }{ \lim_{x\to+\infty} \left( 3 \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{4}{x^2} \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^3} \right) }\mathrm{.} \] Je potřeba zdůraznit, že tato úprava je možná pouze tehdy, pokud následně ukážeme, že poslední výraz má smysl.

• Nápověda 3

  Připomeňte si, že limita: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0\mathrm{,} \] a že limita a násobku této funkce je (\( a\in\mathbb{R}\)): \[ \lim_{x\to+\infty} \left(a\cdot\frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to+\infty} a \cdot \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = a\cdot 0 = 0. \] Stejně tak platí, že pokud k je přirozené číslo, potom \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{a}{x^k} = a\cdot \underbrace{\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\cdot \cdots \cdot \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}}_{\textrm{k-krát}} = a\cdot 0\cdot \cdots \cdot 0 = 0. \]

• Řešení nápovědy 3

  Neboť \(\lim_{x\to+\infty} \frac{a}{x^k} = 0\) pro všechna a reálná a k přirozená, dostáváme: \[ =\dfrac{ \lim_{x\to+\infty} \left( 2\right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{7}{x^4} \right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^5} \right)}{ \lim_{x\to+\infty} \left( 3 \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{4}{x^2} \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^3} \right) }= \] \[ = \frac{2 + 0 + 0}{3-0-0} = \frac{2}{3} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  V čitateli i jmenovateli je nejvyšším členem \(x^5\), vytkneme jej: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2x^5+7x+1}{3x^5-4x^3-x^2} = \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x^5}{x^5}\cdot \frac{2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}}{3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} \right)\mathrm{,} \] a vykrácením \(x^5\) získáme: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}}{3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} \mathrm{.} \] Užitím věty o aritmetice limit můžeme nejprve rozepsat limitu podílu jako podíl limit a následně limitu součtu v čiteteli i jmenovateli na součet limit: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}}{3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = \frac{\lim_{x\to+\infty}{\left(2 + \frac{7}{x^4}+ \frac{1}{x^5}\right)}}{\lim_{x\to+\infty}\left(3 - \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right)}= \] \[ =\dfrac{ \lim_{x\to+\infty} \left( 2\right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{7}{x^4} \right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^5} \right) }{ \lim_{x\to+\infty} \left( 3 \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{4}{x^2} \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^3} \right) }\mathrm{.} \] Použitím \(\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{a}{x^k}\right) = 0\) pro každé a reálné a k přirozené dostaneme: \[ \dfrac{ \lim_{x\to+\infty} \left( 2\right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{7}{x^4} \right)+ \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^5} \right)}{ \lim_{x\to+\infty} \left( 3 \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{4}{x^2} \right)- \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{x^3} \right) }= \] \[ = \frac{2 + 0 + 0}{3-0-0} = \frac{2}{3}\mathrm{.} \]

• Výsledek

  \[\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^5+7x+1}{3x^5-4x^3-x^2} = \frac{2}{3}\]