Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VIII
Úloha číslo: 839
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ n^\alpha\,\left(\sqrt[100]{n^4+2n} - \sqrt[25]{n}\right)\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ n^\alpha\,\left(\sqrt[100]{n^4+2n} - \sqrt[25]{n}\right) = \]Jednoduchou úpravou převedeme obě odmocniny na stejný základ
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ n^\alpha\,\left(\sqrt[100]{n^4+2n} - \sqrt[100]{n^4}\right)\]a poté použijeme identity (viz úlohu Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění II)
\[A-B = \frac{A^{100}-B^{100}}{A^{99}+A^{98}B+\ldots+AB^{98}+B^{99}},\]podle které je
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ n^\alpha\,\left(\sqrt[100]{n^4+2n} - \sqrt[100]{n^4}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ n^\alpha\,\frac{(n^4+2n)-n^4}{\sqrt[100]{(n^4+2n)^{99}}+ \sqrt[100]{(n^4+2n)^{98}}\sqrt[100]{(n^4)^1}+\ldots+\sqrt[100]{(n^4+2n)^{1}}\sqrt[100]{(n^4)^{98}}+\sqrt[100]{(n^4)^{99}}},\]přičemž ve jmenovateli je celkem 100 sčítanců. Klíčovým je zjištění, že ve všech sčítancích lze vytknout stejnou maximální mocninu n, totiž
\[\sqrt[100]{(n^4)^{99}} = n^{99/25}.\]Po tomto vytknutí a úpravě čitatele dostaneme
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ n^\alpha\,\frac{(n^4+2n)-n^4}{\sqrt[100]{(n^4+2n)^{99}}+ \sqrt[100]{(n^4+2n)^{98}}\sqrt[100]{(n^4)^1}+\ldots+\sqrt[100]{(n^4+2n)^{1}}\sqrt[100]{(n^4)^{98}}+\sqrt[100]{(n^4)^{99}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \,\frac{2n^{1+\alpha-99/25}}{\sqrt[100]{(1+2/n^3)^{99}}+ \sqrt[100]{(1+2/n^3)^{98}}+\ldots+\sqrt[100]{(1+2/n^3)^{1}}+1} =\]a použitím věty o aritmetice podílu a úlohy Limita pod odmocninou I můžeme psát
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^{1+\alpha-99/25}}{\sqrt[100]{(1+0)^{99}}+ \sqrt[100]{(1+0)^{98}}+\ldots+\sqrt[100]{(1+0)^{1}}+1} =\] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^{1+\alpha-99/25}}{1+1+\ldots+1+1} =\] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^{1+\alpha-99/25}}{100} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{1+\alpha-99/25}}{50} =\] \[=\left\{\begin{array}{ll} 1/50 & \alpha = 74/25 \\ +\infty & \alpha > 74/25 \\ 0 & \alpha < 74/25 \end{array}\right.\]
