Sbírka řešených úloh

Rozklad na parciální zlomky II.

Úloha číslo: 1481

• Motivace

  V předchozí úloze Rozklad na parciální zlomky I. jsme si procvičili rozklad na parciální zlomky lomených racionálních výrazů pro případy, kdy polynom ve jmenovateli lze rozložit na lineární faktory (polynomy stupně jedna) s různými kořeny.

  Jak tomu ale bude v případě, že se některé faktory opakují? Jinými slovy v případě výskytu několikanásobných kořenů polynomu ve jmenovateli výrazu?

  Konkrétně, jestliže je vstupem lomený racionální výraz $$\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}$$ nad tělesem $\mathbb{R}$, kde pro stupně polynomů platí $s < n$ a kde polynom ${Q_n(x)}$ lze nad $\mathbb{R}$ rozložit na součin jako $${Q_n(x)}=(x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdots(x-\alpha_l)^{k_l}; k_1+k_2+\cdots+k_l=n$$

  přičemž čísla $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l \in \mathbb{R}$ jsou kořeny polynomu $Q_n(x)$.

  Pak výstupem bude rozklad

  $$\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_{1{,}1}}{(x-\alpha_1)^1}+\frac{A_{1{,}2}}{(x-\alpha_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,k_1}}{(x-\alpha_1)^{k_1}} +$$ $$\cdots+ \frac{A_{l,1}}{x-\alpha_l}+\frac{A_{l,2}}{(x-\alpha_l)^2}+\cdots+\frac{A_{l,k_l}}{(x-\alpha_l)^{k_l}}$$

  kde $A_{r,t}$ rozumíme konstantu příslušející kořenu $\alpha_r$ při násobnosti příslušné závorky $t$ kde $r \ge l, t \ge k_r$.

  Konkrétní rozklad na parciální zlomky a s tím spojené konkrétní hodnoty konstant v čitatelích zlomků získáme pomocí metody porovnávání koeficientů.

  Je dobré si dále uvědomit, že ne každý polynom je možno rozložit na lineární faktory.

  Například výraz $\frac{1}{1+x^2}$ nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny.

  Složitějšími rozklady se budeme dále zabývat v navazující úloze Rozklad na parciální zlomky III..

• Nápověda 1.

  Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.

• Nápověda 2. - řešení

  V tomto případě využijeme vzorec $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$.

  Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako

  $$1-2x+x^2=(1-x)^2=(1-x)(1-x)$$

• Nápověda 2.

  Proveďte obecný rozklad na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.

• Nápověda 2. - řešení

  S využitím dříve provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

  $$\frac{2-x}{1-2x+x^2}=\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}$$ $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}$$

• Nápověda 3.

  Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty $A,\,B$ tak, aby platila rovnost výše.

• Nápověda 3. - řešení

  Dříve získaný rozklad nejprve upravíme přenásobením obou stran rovnosti výrazem $(1-x)(1-x)$

  $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}$$

  získáme tak

  $$2-x=A(1-x)+B$$

  závorky roznásobíme

  $$2-x=A-Ax+B$$

  a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

  (dva polynomi se sobě rovnají, rovnají-li se sobe navzájem si korespondující koeficienty)

  $$2-x=(-A)x+(A+B)$$ $$\color{red}{-1}x+\color{blue}{2}x^0=\color{red}{(-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0$$

  Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující dvě podmínky

  $$-1=-A$$ $$2=A+B$$

  Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, můžeme řešení nalézt například substituční metodou.

  Touto cestou získáme následující řešení

  $$A=1$$ $$2=1+B$$ $$B=1$$

  a s tím spojený rozklad

  $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}$$

• Řešení

  V tomto případě využijeme vzorec $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$.

  Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako

  $$1-2x+x^2=(1-x)^2=(1-x)(1-x)$$

  Za pomoci dříve provedeného rozklad výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

  $$\frac{2-x}{1-2x+x^2}=\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}$$ $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}$$

  Takto získaný rozklad nejprve upravíme přenásobením obou stran rovnosti výrazem $(1-x)(1-x)$

  $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}$$

  získáme tak

  $$2-x=A(1-x)+B$$

  závorky roznásobíme

  $$2-x=A-Ax+B$$

  a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

  (dva polynomi se sobě rovnají, rovnají-li se sobe navzájem si korespondující koeficienty)

  $$2-x=(-A)x+(A+B)$$ $$\color{red}{-1}x+\color{blue}{2}x^0=\color{red}{(-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0$$

  Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující dvě podmínky

  $$-1=-A$$ $$2=A+B$$

  Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, můžeme řešení nalézt například substituční metodou.

  Touto cestou získáme následující řešení

  $$A=1$$ $$2=1+B$$ $$B=1$$

  a s tím spojený rozklad

  $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}$$

• Výsledek

  $$\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}$$

• Další úloha v sérii

  Rozklad na parciální zlomky III.