Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění V
Úloha číslo: 834
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt[3]{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-1}\right).\]Nápověda
Využijte rozšíření podle schematu
\[\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} = \] \[= \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}= \] \[= \frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt[3]{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-1}\right).\]Nejprve rozšíříme odmocninu podle nápovědy a poté vytkneme nejvyšší mocninu ze jmenovatele
\[\lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt[3]{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-1}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\cdot \frac{(n^2+1)-(n^2-1)}{\sqrt[3]{(n^2+1)^2}+\sqrt[3]{n^2+1}\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{(n^2-1)^2}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^\alpha}{\sqrt[3]{n^4}\left(\sqrt[3]{(1+1/n^2)^2}+\sqrt[3]{1+1/n^2}\sqrt[3]{1-1/n^2}+\sqrt[3]{(1-1/n^2)^2}\right)} = \]a pak podle věty o aritmetice limit dostaneme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} 2n^{\alpha-4/3}\cdot\frac{1}{3} = \] \[ = \left\{ \begin{align} 2/3 \qquad \alpha = 4/3 \\ +\infty \qquad \alpha > 4/3 \\ 0 \qquad \alpha < 4/3 \end{align}\right. \]
