Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vyšetřete průběh funkce - jednoduchá kubická funkce úvodem

Úloha číslo: 1259

Vyšetřete průběh funkce:

\[f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2-6x+2\]
  • Rozbor

    Co si přesně představit pod úlohami typu vyšetřete průběh funkce?

    Naším úkolem bude získat co nejvíce vlastností funkce, abychom měli co nepřesnější představu o jejím průběhu a abychom byli schopni nakreslit co možná nejpřesnější graf zadané funkce.

    Zejména nás budou zajímat tyto vlastnosti(zachována logická posloupnost vyšetřovaných vlastností):

    1. Určete definiční obor funkce a případné body nespojitosti.

    2. Ověřte, zdali je funkce sudá, lichá nebo periodická. V kladném případě můžeme další úkony omezit na nekladnou/nezápornou část osy nebo v případě, že je funkce periodická na interval jedné periody.

    3. Spočtěte jednostranné limity v hraničních bodech definičního oboru funkce a v případných bodech nespojitosti. Získáte tak představu o případné omezenosti/neomezenosti funkce.

    4. Určete první derivaci funkce a s ní spojené body podezřelé z extrémů.

    5. Pomocí záskané první derivace určete intervaly růstu a klesání funkce a její lokální maxima/minima

      Pokud to jde, určete jednostranné limity derivace zleva a zprava v těch bodech definičního oboru, kde první derivace neexistuje (určují sklon grafu funkce v těchto bodech)

    6. Určete druhou derivaci funkce a s tím spojené body podezřelé z inflexe.

    7. Pomocí záskané druhé derivace určete intervaly konvexnosti/konkávnosti funkce a její inflexní body

    8. Ověřte, zdali funkce nemá asymptoty(tečny v nekonečnu)

    9. Vypočítejte hodnoty, jichž funkce nabývá v důležitcý bodech - tj. v průsečících s osami, v bodech nespojitosti, v bodech extrémů funkce a v inflexních bodech.

    10. Za pomoci získaných informací sestrojte graf funkce

  • Nápověda 1. - definiční obor a body nespojitosti.

    Představte si, jak zkoumaná funkce vypadá (pro představu vzpomeňte na \(g(x)=x^3\)) a pro jaké hodnoty x je definována, případně, pro které hodnoty nemá smysl.

  • Nápověda 2. - Periodičnost, Sudost a Lichost.

    Zamyslete se nad tím, jaké funkce obvykle bývají periodicé, jestli může být tedy i zadaná funkce periodická, případně určete periodu.

    K vyšetření symetrie funkce je potřeba znát podobu grafu předem nebo vycházet z definice sudé/liché, případně periodické funkce.

  • Nápověda 2.- jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti

    S využitím definice jednostranných limit a vět pro počítání limit funkcí spočteme limity v hraničních bodech Df, což jsou v našem případě hodnoty plus a minus nekonečno.

  • Nápověda 3.- První derivace a body podezřelé z extrémů

    Pomocí známých derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci. Následně za pomoci nutné podmínky existence lokálního extrému určíme body podezřelé z extrémů.

  • Nápověda 4.- Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy

    Pomocí již známé první derivace a vlastnosti roztu/klesání funkce ve spojitosti právě s její první derivací určete intervaly růstu a klesání, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice lokálního extrému, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z extrémů skutečně extrémy funkce či nikoli.

  • Nápověda 5.- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.

    Pomocí známých derivací nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci ze znalosti derivace první. Následně za pomoci nutné podmínky existence inflexe určíme body podezřelé z inflexe.

  • Nápověda 6. - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body

    Pomocí již známé druhé derivace a vlastnosti konvexity/konkávnosti funkce ve spojitosti právě s druhou derivací určete intervaly konvexity/konkávnosti, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice inflexního bodu, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z inflexe skutečně inflexními body funkce či nikoli.

  • Nápověda 7.- Asymptoty

    Z definice asymptoty a věty pro její určení určete rovnice obou těchto přímek.

  • Nápověda 8.- Dopočtení důležitých hodnot

    Vypočítejte, jakých hodnot zkoumaná funkce nabývá ve svých případných průsečících s osami, extrémech, bodech nespojitosti a inflexních bodech

  • Nápověda 9. - Graf

    Ze získaných údajů sestrojte co nejpřesnější graf zkoumané funkce.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze