Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu
Úloha číslo: 1350
Rolleova věta. Nechť a, b jsou reálná čísla, a < b. Nechť f je spojitá reálná funkce jedné reálné proměnné definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. Jestliže je
\[f(a) = f(b)\]a f je diferencovatelná v každém bodě otevřeného intervalu (a, b), potom existuje \(c\in (a,b)\) takové, že
\[f^{\prime}(c) = 0.\]Lagrangeova věta. Nechť a, b jsou reálná čísla, a < b. Nechť f je spojitá reálná funkce jedné reálné proměnné definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. Jestliže funkce f je diferencovatelná v každém bodě otevřeného intervalu (a, b), potom existuje \(c\in (a,b)\) takové, že
\[f^{\prime}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]Cauchyova věta. Nechť a, b jsou reálná čísla, a < b. Nechť f a g jsou spojité reálné funkce jedné reálné proměnné definované na uzavřeném intervalu [a, b]. Jestliže
- funkce f má v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) vlastní derivaci a
- funkce g má v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) vlastní nenulovou derivaci,
Rolleova věta - nápověda
Vyjděte z toho, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá svého minima i maxima.
Protože pak hodnota v krajních bodech je stejná, buď je funkce konstantní a nebo nemůže nabývat jednoho z extrémů ve svém krajním bodě.
Rolleova věta - důkaz
Protože funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], nabývá na tomto intervalu dle úlohy Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima i minima svého minima m a svého maxima M.
Jestliže m = M, potom je funkce konstantní. Ta ale podle úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné má derivaci rovnou nule v každém bodě otevřeného intervalu (a, b).
Jestliže m < M, pak buď minima nebo maxima funkce f nemůže nabývat v krajních bodech intervalu [a, b], neboť f(a) = f(b). Funkce f tedy musí mít globální extrém ve vnitřním bodě intervalu [a, b]. Globální extrém ve vnitřním bodě intervalu [a, b] je samozřejmě také extrémem lokálním. A protože funkce f má v každém vnitřním bodě derivaci, podle tvrzení v úloze Nutná podmínka pro nabývání lokálních extrémů, musí být derivace v bodě, kde nabývá tohoto extrému, rovna nule.
Lagrangeova věta - nápověda
Aplikujte Rolleovu větu na funkci
\[g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\]Lagrangeova věta - řešení
Položme
\[g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\]Potom je
\[g(a) = f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = f(a)\]a
\[g(b) = f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = f(b) - (f(b)-f(a)) = f(a),\]a tedy
\[g(a) = g(b).\]Protože f je spojitá v každém bodě intervalu [a, b] a lineární funkce \(\frac{x-a}{b-a}\) taktéž a aritmetické operace odčítání a násobení zachovávají spojitost v bodě, je také funkce g spojitá v každém bodě intervalu [a, b].
Navíc v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b] platí podle věty o aritmetice derivací (viz úlohu Derivace funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti)
\[g^{\prime}(x) = \left(f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)^{\prime} = f^{\prime}(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)^{\prime} =\] \[= f^{\prime}(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-0) = f^{\prime}(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]neboť f je diferencovatelná v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b]. Z tohoto výpočtu vyplývá, že také funkce g je diferencovatelná v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b].
Jsou tak splněny předpoklady Rolleovy věty pro funkci g. Z této věty vyplývá, že existuje bod c v intervalu (a, b), kde
\[g^{\prime}(c) = 0.\]Protože ale podle výpočtu výše je
\[g^{\prime}(c) = f^{\prime}(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]dostáváme, že
\[0 = f^{\prime}(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]odkud dokazované tvrzení ihned vyplývá.
Cauchyova věta - nápověda
Aplikujte Rolleovu větu na funkci
\[h(x) = \left(f(x)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(x)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right).\]Cauchyova věta - řešení
Položme
\[h(x) = \left(f(x)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(x)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right).\]Potom je
\[h(a) = \left(f(a)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(a)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right) = 0\]a
\[h(b) = \left(f(b)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(b)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right) = 0\]a tedy
\[h(a) = h(b).\]Protože f a g jsou spojité v každém bodě intervalu [a, b], stejně tak konstantní funkce a aritmetické operace odčítání a násobení zachovávají spojitost v bodě, je také funkce h spojitá v každém bodě intervalu [a, b].
Navíc v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b] platí podle věty o aritmetice derivací (viz úlohu Derivace funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti)
\[h^{\prime}(x) = \left[\left(f(x)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(x)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right)\right]^{\prime} =\] \[= f^{\prime}(x)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(x)(f(b)-f(a)),\]neboť f i g jsou diferencovatelné v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b]. Z tohoto výpočtu vyplývá, že také funkce h je diferencovatelná v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b].
Jsou tak splněny předpoklady Rolleovy věty pro funkci g. Z této věty vyplývá, že existuje bod c v intervalu (a, b), kde
\[h^{\prime}(c) = 0.\]Protože ale podle výpočtu výše je
\[h^{\prime}(c) = f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\]dostáváme, že
\[0 = f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\]odkud dokazované tvrzení vyplývá následujícími ekvivalentními algebraickými úpravami
\[0 = f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\] \[f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) = g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\] \[\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\]Pro provedení dělení potřebujeme vědět, že \(g^{\prime}(c) \neq 0\), což vyplývá přímo z předpokladů dokazovaného tvrzení, a také, že \(g(b)-g(a)\neq 0\). To vyplývá z toho, že pokud by \(g(b) = g(a)\), pak by funkce g splňovala předpoklady Rolleovy věty, ze které by vyplývala existence bodu d uvnitř intervalu (a, b), kde \(g^{\prime}(d) = 0\). Existence takového bodu je ale vyloučena předpokladem, že derivace g je ve všech bodech nenulová.
