Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu

Úloha číslo: 1350

Dokažte následující tři tvrzení.

Rolleova věta. Nechť a, b jsou reálná čísla, a < b. Nechť f je spojitá reálná funkce jedné reálné proměnné definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. Jestliže je

\[f(a) = f(b)\]

a f je diferencovatelná v každém bodě otevřeného intervalu (a, b), potom existuje \(c\in (a,b)\) takové, že

\[f^{\prime}(c) = 0.\]

Lagrangeova věta. Nechť a, b jsou reálná čísla, a < b. Nechť f je spojitá reálná funkce jedné reálné proměnné definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. Jestliže funkce f je diferencovatelná v každém bodě otevřeného intervalu (a, b), potom existuje \(c\in (a,b)\) takové, že

\[f^{\prime}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Cauchyova věta. Nechť a, b jsou reálná čísla, a < b. Nechť f a g jsou spojité reálné funkce jedné reálné proměnné definované na uzavřeném intervalu [a, b]. Jestliže

  • funkce f má v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) vlastní derivaci a
  • funkce g má v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) vlastní nenulovou derivaci,
potom existuje \(c\in (a,b)\) takové, že

\[\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\]
  • Rolleova věta - nápověda

    Vyjděte z toho, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá svého minima i maxima.

    Protože pak hodnota v krajních bodech je stejná, buď je funkce konstantní a nebo nemůže nabývat jednoho z extrémů ve svém krajním bodě.

  • Rolleova věta - důkaz

    Protože funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], nabývá na tomto intervalu dle úlohy Spojitá funkce na otevřeném intervalu nabývá maxima i minima svého minima m a svého maxima M.

    Jestliže m = M, potom je funkce konstantní. Ta ale podle úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné má derivaci rovnou nule v každém bodě otevřeného intervalu (a, b).

    Jestliže m < M, pak buď minima nebo maxima funkce f nemůže nabývat v krajních bodech intervalu [a, b], neboť f(a) = f(b). Funkce f tedy musí mít globální extrém ve vnitřním bodě intervalu [a, b]. Globální extrém ve vnitřním bodě intervalu [a, b] je samozřejmě také extrémem lokálním. A protože funkce f má v každém vnitřním bodě derivaci, podle tvrzení v úloze Nutná podmínka pro nabývání lokálních extrémů, musí být derivace v bodě, kde nabývá tohoto extrému, rovna nule.

  • Lagrangeova věta - nápověda

    Aplikujte Rolleovu větu na funkci

    \[g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\]
  • Lagrangeova věta - řešení

    Položme

    \[g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\]

    Potom je

    \[g(a) = f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = f(a)\]

    a

    \[g(b) = f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = f(b) - (f(b)-f(a)) = f(a),\]

    a tedy

    \[g(a) = g(b).\]

    Protože f je spojitá v každém bodě intervalu [a, b] a lineární funkce \(\frac{x-a}{b-a}\) taktéž a aritmetické operace odčítání a násobení zachovávají spojitost v bodě, je také funkce g spojitá v každém bodě intervalu [a, b].

    Navíc v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b] platí podle věty o aritmetice derivací (viz úlohu Derivace funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti)

    \[g^{\prime}(x) = \left(f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)^{\prime} = f^{\prime}(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)^{\prime} =\] \[= f^{\prime}(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-0) = f^{\prime}(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]

    neboť f je diferencovatelná v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b]. Z tohoto výpočtu vyplývá, že také funkce g je diferencovatelná v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b].

    Jsou tak splněny předpoklady Rolleovy věty pro funkci g. Z této věty vyplývá, že existuje bod c v intervalu (a, b), kde

    \[g^{\prime}(c) = 0.\]

    Protože ale podle výpočtu výše je

    \[g^{\prime}(c) = f^{\prime}(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]

    dostáváme, že

    \[0 = f^{\prime}(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]

    odkud dokazované tvrzení ihned vyplývá.

  • Cauchyova věta - nápověda

    Aplikujte Rolleovu větu na funkci

    \[h(x) = \left(f(x)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(x)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right).\]
  • Cauchyova věta - řešení

    Položme

    \[h(x) = \left(f(x)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(x)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right).\]

    Potom je

    \[h(a) = \left(f(a)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(a)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right) = 0\]

    a

    \[h(b) = \left(f(b)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(b)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right) = 0\]

    a tedy

    \[h(a) = h(b).\]

    Protože f a g jsou spojité v každém bodě intervalu [a, b], stejně tak konstantní funkce a aritmetické operace odčítání a násobení zachovávají spojitost v bodě, je také funkce h spojitá v každém bodě intervalu [a, b].

    Navíc v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b] platí podle věty o aritmetice derivací (viz úlohu Derivace funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti)

    \[h^{\prime}(x) = \left[\left(f(x)-f(a)\right)\left(g(b)-g(a)\right) - \left(g(x)-g(a)\right)\left(f(b)-f(a)\right)\right]^{\prime} =\] \[= f^{\prime}(x)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(x)(f(b)-f(a)),\]

    neboť f i g jsou diferencovatelné v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b]. Z tohoto výpočtu vyplývá, že také funkce h je diferencovatelná v každém vnitřním bodě x intervalu [a, b].

    Jsou tak splněny předpoklady Rolleovy věty pro funkci g. Z této věty vyplývá, že existuje bod c v intervalu (a, b), kde

    \[h^{\prime}(c) = 0.\]

    Protože ale podle výpočtu výše je

    \[h^{\prime}(c) = f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\]

    dostáváme, že

    \[0 = f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\]

    odkud dokazované tvrzení vyplývá následujícími ekvivalentními algebraickými úpravami

    \[0 = f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) - g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\] \[f^{\prime}(c)(g(b)-g(a)) = g^{\prime}(c)(f(b)-f(a)),\] \[\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\]

    Pro provedení dělení potřebujeme vědět, že \(g^{\prime}(c) \neq 0\), což vyplývá přímo z předpokladů dokazovaného tvrzení, a také, že \(g(b)-g(a)\neq 0\). To vyplývá z toho, že pokud by \(g(b) = g(a)\), pak by funkce g splňovala předpoklady Rolleovy věty, ze které by vyplývala existence bodu d uvnitř intervalu (a, b), kde \(g^{\prime}(d) = 0\). Existence takového bodu je ale vyloučena předpokladem, že derivace g je ve všech bodech nenulová.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze