Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha XIII

Úloha číslo: 865

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2}\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2}.\]

    Odhadem seshora dostaneme, že

    \[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \leq \sqrt[n]{n^{2n} + n^{2n} + \cdots + n^{2n}} = n^2\sqrt[n]{n},\]

    a tudíž

    \[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \leq \sqrt[n]{n}.\]

    Odhadem zespoda dostaneme, že

    \[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \geq \sqrt[n]{n^{2n}} = n^2,\]

    a tudíž

    \[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \geq 1.\]

    Dáme-li oba odhady dohromady, můžeme psát

    \[1 \leq \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \leq \sqrt[n]{n}.\]

    A protože limita jedné je jedna a podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je též

    \[\lim \ \sqrt[n]{n} = 1,\]

    vyplývá odtud pomocí tvrzení úlohy Věta o dvou policajtech závěr, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze