Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha XIII
Úloha číslo: 865
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2}\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2}.\]Odhadem seshora dostaneme, že
\[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \leq \sqrt[n]{n^{2n} + n^{2n} + \cdots + n^{2n}} = n^2\sqrt[n]{n},\]a tudíž
\[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \leq \sqrt[n]{n}.\]Odhadem zespoda dostaneme, že
\[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \geq \sqrt[n]{n^{2n}} = n^2,\]a tudíž
\[\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \geq 1.\]Dáme-li oba odhady dohromady, můžeme psát
\[1 \leq \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \leq \sqrt[n]{n}.\]A protože limita jedné je jedna a podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je též
\[\lim \ \sqrt[n]{n} = 1,\]vyplývá odtud pomocí tvrzení úlohy Věta o dvou policajtech závěr, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} = 1.\]
