Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Úroveň náročnosti
Štítky
Obecné
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha XIII
Úloha číslo: 865
Určete limitu posloupnosti
limŘešení
Určujeme limitu posloupnosti
\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2}.Odhadem seshora dostaneme, že
\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \leq \sqrt[n]{n^{2n} + n^{2n} + \cdots + n^{2n}} = n^2\sqrt[n]{n},a tudíž
\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \leq \sqrt[n]{n}.Odhadem zespoda dostaneme, že
\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \geq \sqrt[n]{n^{2n}} = n^2,a tudíž
\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \geq 1.Dáme-li oba odhady dohromady, můžeme psát
1 \leq \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} \leq \sqrt[n]{n}.A protože limita jedné je jedna a podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je též
\lim \ \sqrt[n]{n} = 1,vyplývá odtud pomocí tvrzení úlohy Věta o dvou policajtech závěr, že
\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \cdots + n^{2n}} \cdot \frac{1}{n^2} = 1.
