Výpočet limity obecné exponenciální funkce
Úloha číslo: 1184
a) \(\lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac {x+a}{x-a}\right )^x,\quad a \in \mathbb{R},\)
b) \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin{x})^{\mathrm{tg}\,{x}} \).
Věta o limitě složené funkce
Nechť \( a \in \mathbb{R}^{*}\) a nechť funkce \(f,g\) splňují
\[\lim_{x \to a} g(x)=A \in \mathbb{R}^{*},\quad\lim_{y \to A} f(y)=B \in \mathbb{R}^{*}, \]a nechť platí alespoň jedna z podmínek
(P): \(\exists P(a):\forall x \in P(a):g(x)\ne A\),
(S): funkce \(f\) je spojitá v bodě \(A \in \mathbb{R}\).
Symbolem \(P(a)\) se míní prstencové okolí bodu \(a\).
Pak platí, že
\[\lim_{x \to a}g\circ f(x)= \lim_{y \to A}g(y) = \lim_{x \to a}g\left(f(x)\right)=B.\]Užitečné vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce
Určitě využijeme
- Spojitost exponenciální funkce na definičním oboru (tj. na \(\mathbb{R}\)),
-
\(\exp{(x+y)}=\exp{x} \cdot \exp{y}\),
-
\(\ln{(x \cdot y)}=\ln{x}+\ln{y}\),
-
\(\ln{x^a}=a\cdot \ln{x}\),
-
\(a^b=e^{b\ln{a}}\).
Poznámka: Exponenciála \(e^x\) lze pro zpřehlednění vztahů psát jako \(exp(x)\).
Rozbor
A. Úlohy typu fg, kde f, g jsou funkce, se standardně řeší pomocí následujícího postupu.
Nejprve se použije rovnost
\[\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a} \exp\left[g(x)\,\ln f(x)\right].\]Pokud existuje limita výrazu uvnitř exponenciální funkce
\[\lim_{x\to a} g(x)\,\ln f(x),\]pak se použije jednoho z následujících postupů:
1. Je-li tato limita vlastní a rovna L, potom ze spojitosti exponenciální funkce v bodě L vyplývá, že
\[\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a} \exp\left[g(x)\,\ln f(x)\right] = \] \[ = \exp\left[\lim_{x\to a} g(x)\,\ln f(x)\right] = \exp(L).\]2. Je-li tato limita nevlastní (tj. \(\pm\infty\)), potom existuje prstencové okolí bodu a tak, že \(g(x)\ln f(x) \neq \pm\infty\), neboť jde o reálné funkce, jejich hodnoty tedy musí být reálná čísla. Podle věty o limitě složené funkce pak platí, že
\[\lim_{x\to a} g(x)\,\ln f(x) = +\infty \implies \lim_{x\to a} \exp[g(x)\,\ln f(x)] = +\infty\]nebo
\[\lim_{x\to a} g(x)\,\ln f(x) = -\infty \implies \lim_{x\to a} \exp[g(x)\,\ln f(x)] = 0.\]B. V bodě A jsme tedy převedli úlohu hledání limity výrazu
\[\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}\]na úlohu nalezení limity výrazu
\[\lim_{x\to a} g(x) \ln f(x).\]V případě, že obě funkce f a g jsou spojité (v bodě a), stačí tuto limitu vypočítat dosazením, s výjimkou následujících případů, které v důsledku vedou na neurčité výrazy:
1. \(\lim g(x) = \pm\infty\), \(\lim f(x) = 1\) (vede na součin \(\pm\infty \centerdot 0\)),
2. \(\lim g(x) = 0\), \(\lim f(x) = 0\) (vede na součin \(0 \centerdot (-\infty)\)),
3. \(\lim g(x) = 0\), \(\lim f(x) = +\infty\) (vede na součin \(0 \centerdot (+\infty)\)).
Poslední dva případy lze často řešit pomocí růstové škály. První případ, kdy \(\lim f(x) = 1\), lze často řešit dalším zjednodušením, s využitím limity
\[\lim \frac{\ln f(x)}{f(x)-1} = 1,\]kterou obvykle lze odvodit pomocí věty o limitě složené funkce při použití podmínky (P) ze základní limity
\[\lim_{y\to 1} \frac{\ln y}{y-1} = 1.\]Tím lze tedy zkoumání limity
\[\lim_{x\to a} \ g(x) \ln f(x)\]převést na zkoumání limity
\[\lim_{x\to a} \ \left[g(x)\centerdot (f(x)-1)\right].\]Zkusme toto (relativně bohaté a tedy komplikované) schema použít při řešení zadaných limit.
a) Nápověda 1
Pro výpočet limity \[\lim_{x \to \infty } \left( \frac {x+a}{x-a}\right )^x,\hspace{7px} a \in \mathbb{R}\] využijte zmíněných užitečných vztahů a převeďte ji na zkoumání limity součinu.
a) Nápověda 2
Nyní určíme limitu argumentu exponenciální funkce, tj. \(\lim\limits_{x \to \infty}x \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)}\).
Výraz se budeme snažit upravit tak, aby vedl k užití známé limity \(\lim\limits_{y\to 1} \frac{\ln y}{y-1}\).
- Logaritmus podílu napišme jako rozdíl logaritmů.
- V argumentech logaritmů vytkněte x.
- Logaritmy součinu přepište na součet logaritmů a vzniklé sčítání proveďte.
a) Nápověda 3
Budeme pokračovat v úpravách, které povedou k užití limity \(\lim\limits_{y\to 1} \frac{\ln y}{y-1}\).
- Vhodným rozšířením u obou logaritmů převeďte výpočet na typově známou limitu, roznásobte x.
- Použijte větu o aritmetice limit.
a) Nápověda 4
- Zaveďte substituce pro použití známé limity.
- Ověřte podmínku (P) pro substituci do limit.
- Limitu dopočítejte.
- Vraťe se na začátek úlohy a vypočtenou limitu dosaďte do výrazu získaného díky spojitosti exponenciály.
a) CELKOVÉ ŘEŠENÍ
S pomocí vztahu \(a^b=e^{b\ln{a}}\) limitu upravíme do snázeji upočitatelného stavu
\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x+a}{x-a}\right )^x=\lim_{x \to \infty} e^{x\cdot \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)}}\mathrm{.}\]Využijeme věty o limitě složené funkce (konkrétně podmínky spojitosti vnější funkce (S) jak uvidíme ke konci, neboť exponenciální funkce je spojitá na \(\mathbb{R}\) a limita exponentu vyjde vlastní). Můžeme tedy psát
\[\lim_{x \to \infty} e^{x\cdot \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)}}=e^{ \lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)} \right] }.\]Logaritmus podílu napíšeme jako rozdíl logaritmů
\[\lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)}\right]=\lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \left(\ln{(x+a)}-\ln{(x-a)}\right)\right].\]V argumentech logaritmů vytkneme \(x\). Logaritmy součinu přepíšeme na součet logaritmů a vzniklé sčítání provedeme
\[\lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \left(\ln{(x+a)}-\ln{(x-a)}\right)\right]=\] \[=\lim_{x \to \infty} \left[x\cdot \left[\ln{\left( x\cdot \left(1+\frac{a}{x}\right)\right)}-\ln{\left(x\cdot \left(1-\frac{a}{x}\right)\right)}\right]\right]=\] \[=\lim_{x \to \infty} \left[x\cdot \left[\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}-\ln{\left(1-\frac{a}{x}\right)}+ \ln{x}-\ln{x} \right]\right]=\] \[=\lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \left(\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}-\ln{ \left(1-\frac{a}{x}\right)} \right)\right].\]Zde už je patrné, že výrazy v argumentu logaritmů se pro \(x\to\infty\) blíží jedné, výpočet proto budeme směřovat na použití známé limity: \(\lim_{y \to 1}\frac{\ln{y}}{y-1}=1\).
Vhodným rozšířením chytrou jedničkou u obou logaritmů převedeme výpočet na limity výše uvedeného typu. Dále roznásobíme x
\[\lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \left(\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}-\ln{ \left(1-\frac{a}{x}\right)} \right)\right]=\] \[=\lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \left(\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)\cdot \dfrac{\frac{a}{x}}{\frac{a}{x}}}-\ln{ \left(1-\frac{a}{x}\right)\cdot \dfrac{-\frac{a}{x}}{-\frac{a}{x}} } \right)\right]=\] \[= \lim_{x \to \infty} \left[ x\frac{\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}}{\frac{a}{x}}\cdot\frac{a}{x}+x\frac{\ln{ \left(1-\frac{a}{x}\right)}}{-\frac{a}{x}}\cdot \frac{a}{x} \right]= \] \[= \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}}{\frac{a}{x}}\cdot a+\frac{\ln{ \left(1-\frac{a}{x}\right)}}{-\frac{a}{x}}\cdot a \right]. \]Limitu rozepíšeme dle aritmetiky limit jako
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}}{\frac{a}{x}}\cdot \lim_{x \to \infty} a +\lim_{x \to \infty} \frac{\ln{\left(1-\frac{a}{x}\right)}}{-\frac{a}{x}}\cdot \lim_{x \to \infty} a.\]Bude-li mít výsledný výraz smysl, byla aritmetika limit použita správně.
Zavedeme substituce \(y =\left(1+\frac{a}{x}\right)\) a \(z =\left(1-\frac{a}{x}\right)\) pro první a třetí limitu. Nyní použijeme větu o limitě složené funkce, kde ověříme platnost podmínky (P).
Je
\[\lim_{x\to +\infty} 1\pm\frac{a}{x} = 1,\]přitom na intervalu \[(|2a|,+\infty)\] jsou logaritmické funkce definovány a platí, že
\[1\pm\frac{a}{x} \neq 1.\]Limitu tedy můžeme přepsat
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}}{\frac{a}{x}}\cdot \lim_{x \to \infty} a +\lim_{x \to \infty} \frac{\ln{\left(1-\frac{a}{x}\right)}}{-\frac{a}{x}}\cdot \lim_{x \to \infty} a=\] \[ =\lim_{y \to 1} \frac{\ln{y}}{y-1}\cdot \lim_{x \to \infty} a +\lim_{z \to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}\cdot \lim_{x \to \infty} a.\]První a třetí limita je známá: \(\lim_{y \to 1}\frac{\ln{y}}{y-1}=1\). U druhé a čtvrté využijeme jde o limitu konstantní funkce:
\[\lim_{y \to 1} \frac{\ln{y}}{y-1}\cdot \lim_{x \to \infty} a +\lim_{z \to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}\cdot \lim_{x \to \infty} a = 1\cdot a + 1\cdot a = 2a\]Nezapomeneme na to, že jsme celou dobu počítali pouze dílčí limitu v exponentu. Vraťme se tedy na začátek a vypočítanou limitu pro získání konečného výsledku dosaďme
\[\lim_{x \to \infty} e^{x\cdot \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)}}=e^{ \lim_{x \to \infty}\left[ x\cdot \ln{\left( \frac {x+a}{x-a}\right)} \right] } = e^{2a}.\]a) CELKOVÉ ŘEŠENÍ - alternativní
Výraz v limitě drobným trikem upravíme
\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x+a}{x-a}\right )^x= \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x-a+2a}{x-a}\right )^x= \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )^x\mathrm{.}\]Použijeme vzorec \(a^b = e^{b\cdot \ln a}\)
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )^x = \lim_{x \to \infty} e^{x\cdot\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )} \mathrm{.}\]Dále využijeme věty o limitě složené funkce, konkrétně podmínky spojitosti vnější funkce (S). Neboť exponenciální funkce je spojitá na \(\mathbb{R}\), můžeme psát
\[\lim_{x \to \infty} e^{x\cdot\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )}= e^{\lim_{x \to \infty}\left[x\cdot\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )\right]}. \]Nyní se budeme zabývat pouze limitou v exponentu
\[ \lim_{x \to \infty}\left[x\cdot\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )\right]. \]Je patrné, že výraz v argumentu logaritmu se pro \(x\to\infty\) blíží jedné. Výpočet proto budeme směřovat na použití známé limity: \(\lim_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1\).
Rozšiříme vhodnou „chytrou jedničkou“ za cílem budoucího zavedení substituce
\[ \lim_{x \to \infty}\left[x\cdot\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )\right]= \lim_{x \to \infty}\left[\frac{2ax}{x-a}\cdot\frac{\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )}{\frac{2a}{x-a}}\right]. \]Limitu rozepíšeme dle aritmetiky limit
\[ \lim_{x \to \infty}\frac{2ax}{x-a}\cdot \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right)}{\frac{2a}{x-a}}. \]Bude-li mít výsledný výraz smysl, byla aritmetika limit použita správně.
Pro druhou limitu v součinu zavedeme substituci \(y =\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )\). Nyní použijeme větu o limitě složené funkce, kde ověříme platnost podmínky (P), tj.
\[x\rightarrow \infty; \left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )\rightarrow 1 \ne 1.\]Vytknutím x a jeho pokrácením, užitím věty o aritmetice limit a předesílané známe limity pro logaritmus limitu dopočítáme
\[\lim_{x \to \infty}\frac{2ax}{x-a}\cdot \lim_{y \to 1} \frac{\ln y}{y-1} = \lim_{x \to \infty}\frac{2a}{1-\frac{a}{x}}\cdot \lim_{y \to 1} \frac{\ln y}{y-1} = 2a\cdot 1 = 2a.\]Nezapomeneme na to, že jsme celou dobu počítali pouze dílčí limitu v exponentu. Vratíme se tedy na začátek a vypočítanou limitu pro získání konečného výsledku dosadíme
\[e^{\lim_{x \to \infty}\left[x\cdot\ln\left(1+ \frac {2a}{x-a}\right )\right]} = e^{2a}.\]b) Nápověda 1
Výpočet přímým dosazením \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin{x})^{\tan{x}} \) by vedl na neurčitý výraz \(1^{\infty}\).
Ač jednička mocněná sebevíce zůstává stále jedničkou, v případě limit tuto úvahu nelze použít obecně. Výpočet typu
\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin{x})^{\tan{x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin{\pi/2})^{\tan{x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1)^{\tan{x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 1 = 1\]je chybný z důvodu částečného limitění, což není korektní operace.
Využijeme tedy vlastností exponenciální funkce a výraz vhodně upravíme dle schematu uvnitř části Rozbor.
b) Nápověda 2
Určujeme tedy limitu v exponentu, tedy
\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\tan {x}\cdot \ln{\sin{x}}\right).\]Tuto limitu se pokuste vhodně rozšířit, abyste problém převedli na výpočet známé limity funkce užitím substituce a věty o limitě složené funkce.
b) Nápověda 3
Ve jmenovateli prvního zlomku stále máme problematický člen \(\cos x\), který po prostém dosazení způsobí dělení nulou.
\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin{x} (\sin{x}-1)}{\cos{x}} \cdot \frac{\ln{\sin{x}}}{\sin{x}-1}\right)\]Rozšiřte tedy tento zlomek výrazem \(\frac{\sin x + 1}{\sin x + 1}\) a užitím vztahů pro goniometrické funkce se vypořádejte s problematickým \(\cos x\) ve jmenovateli.
b) Nápověda 4
Nezapomeňte, že jsme se zabývali pouze limitou v exponentu. Navraťte se na začátek příkladu a zapište konečný výsledek.b) CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Limitu přepíšeme využitím vztahu pro obecnou exponenciální funkci
\[\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin{x})^{\tan{x}}=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} e^{\tan {x}\cdot \ln{\sin{x}}} .\]
Využijeme věty o limitě složené funkce, kde je splněna podmínka spojitosti (S). Protože exponenciální funkce je spojitá na \(\mathbb{R}\), lze psát
\[\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} e^{\tan {x} \ln{\sin{x}}}= e^{\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\tan {x}\cdot \ln{\sin{x}}\right)}.\]Funkci tangens přepíšeme jako podíl funkcí sinus a cosinus
\[ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\tan {x}\cdot \ln{\sin{x}}\right) = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \ln{\sin{x}}\right). \]Argument logaritmu se pro \(x\to\frac{\pi}{2}\) blíží jedné. Abychom mohli tuto část limity převést na známou limitu \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}\), rozšíříme chytrou jedničkou a přeskupíme
\[ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \ln{\sin{x}}\right) = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin{x} \cdot (\sin{x}-1)}{\cos{x}} \cdot \frac{\ln{\sin{x}}}{\sin{x}-1}\right).\]Všimneme si, že \(\cos x\) v prvním zlomku stále znamená problémovou nulu ve jmenovateli. Rozšříme proto chytrou jedničkou tak, abychom se ho „zbavili”.
Využijeme přitom vztahy
- \((A+B)(A-B)=A^2-B^2,\)
- \(\sin^2{x}-1=-\cos^2{x}.\)
Dle aritmetiky limit
\[ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left( \frac{-\sin x \cdot \cos{x}}{\sin{x}+1} \cdot \frac{\ln{\sin{x}}}{\sin{x}-1}\right)= \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x \cdot \cos{x}}{\sin{x}+1} \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln{\sin{x}}}{\sin{x}-1}. \]Aritmetika limit byla užita korektně, pokud bude mít výraz na pravé straně smysl.
Využijeme nyní větu o limitě složené funkce. Ověříme, že je splněna podmínka (P). Protože
\[\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \sin{x}= 1,\]a přitom na prstencovém okolí \((\pi/4{,}3\pi/4)\setminus\{\pi/2\}\) je
\[\sin x\ne 1,\]můžeme v rámci druhé limity zavést substituci \(z = \sin x\) (bude-li mít výsledný výraz smysl). Dostaneme tak
\[\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x \cdot \cos{x}}{\sin{x}+1}\cdot \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln{\sin{x}}}{\sin{x}-1} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x \cdot \cos{x}}{\sin{x}+1}\cdot \lim\limits_{z \to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}.\]Do první limity postačí vzhledem ke spojitosti sinu a kosinu za x pouze dosadit. Druhá limita je kýžená základní limita. Dostáváme
\[ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x \cdot \cos{x}}{\sin{x}+1}\cdot \lim\limits_{z \to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}= \frac{-1 {\cdot} 0}{1+1} \cdot 1 = 0. \]Navraťme se k zadání úlohy a dosaďme vypočítanou limitu v exponentu
\[\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} e^{\tan {x} \ln{\sin{x}}}= e^{\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\tan {x}\cdot \ln{\sin{x}}\right)} = e^0 = 1.\]Výsledky
a) \(\lim\limits_{x \to a} \left( \dfrac {x+a}{x-a}\right )^x = e^{2a},\quad a \in \mathbb{R},\)
b) \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin{x})^{\tan{x}} = 1 \).
