Věta o dvou policajtech
Úloha číslo: 846
Dokažte následující tvrzení.
Nechť {an}, {bn} a {cn} jsou reálné posloupnosti, které od nějakého indexu počínaje splňují nerovnosti
\[a_n\leq b_n\leq c_n.\](a) Pokud existují, jsou vlastní a jsou si rovny limity
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n\]potom existuje a je jim rovna také limita
\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = \lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n.\](b) Pokud je
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty,\]potom také
\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = +\infty.\](c) Pokud je
\[\lim_{\small n\to\infty} c_n = -\infty,\]potom také
\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = -\infty.\]Komentář: Všimněte si, že v žádné části (a)-(c) nemusíme předpokládat předem nic o existenci limity posloupnosti {bn}. Existence této limity vyplývá z ostatních předpokladů a důkaz existence je součástí důkazu celého tvrzení.
Řešení
Části (b) a (c) jsou vyřešeny v úloze Věta o limitě posloupnosti a uspořádání, části (b).
Zbývá tedy dokázat pouze část (a), tj. následující tvrzení.
Nechť {an}, {bn} a {cn} jsou reálné posloupnosti, které od nějakého indexu počínaje splňují nerovnosti
\[a_n\leq b_n\leq c_n.\](a) Pokud existují, jsou vlastní a jsou si rovny limity
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n\]potom existuje a je jim rovna také limita
\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = \lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n.\]Položme
\[L = \lim a_n = \lim c_n\]a volme ε > 0. Potom od nějakého indexu počínaje platí:
1. cn ≥ bn ≥ an (podle předpokladu),
2. L ≥ an – ε (z definice limity),
3. L ≤ cn + ε (z definice limity) a konečně
4. cn – an ≤ ε (též z definice limity, neboť lim (an – cn) = 0).
Proto
\[b_n-L \overset{(2)}{\leq} b_n - (a_n - \varepsilon) \overset{(1)}{\leq} c_n - a_n + \varepsilon \overset{(4)}{\leq} 2\varepsilon\]a zároveň
\[L-b_n \overset{(3)}{\leq} c_n+\varepsilon - b_n \overset{(1)}{\leq} c_n+\varepsilon -a_n = (c_n-a_n) + \varepsilon \overset{(1)}{\leq} 2\varepsilon.\]Odtud tedy vyplývá, že
\[|b_n-L| \leq 2\varepsilon.\]Z definice limity tudíž vyplývá, že lim bn existuje a je rovna L.
