Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Věta o dvou policajtech

Úloha číslo: 846

Dokažte následující tvrzení.

Nechť {an}, {bn} a {cn} jsou reálné posloupnosti, které od nějakého indexu počínaje splňují nerovnosti

\[a_n\leq b_n\leq c_n.\]

(a) Pokud existují, jsou vlastní a jsou si rovny limity

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n\]

potom existuje a je jim rovna také limita

\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = \lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n.\]

(b) Pokud je

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty,\]

potom také

\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = +\infty.\]

(c) Pokud je

\[\lim_{\small n\to\infty} c_n = -\infty,\]

potom také

\[\lim_{\small n\to\infty} b_n = -\infty.\]

Komentář: Všimněte si, že v žádné části (a)-(c) nemusíme předpokládat předem nic o existenci limity posloupnosti {bn}. Existence této limity vyplývá z ostatních předpokladů a důkaz existence je součástí důkazu celého tvrzení.

  • Řešení

    Části (b) a (c) jsou vyřešeny v úloze Věta o limitě posloupnosti a uspořádání, části (b).

    Zbývá tedy dokázat pouze část (a), tj. následující tvrzení.

    Nechť {an}, {bn} a {cn} jsou reálné posloupnosti, které od nějakého indexu počínaje splňují nerovnosti

    \[a_n\leq b_n\leq c_n.\]

    (a) Pokud existují, jsou vlastní a jsou si rovny limity

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n\]

    potom existuje a je jim rovna také limita

    \[\lim_{\small n\to\infty} b_n = \lim_{\small n\to\infty} a_n = \lim_{\small n\to\infty} c_n.\]

    Položme

    \[L = \lim a_n = \lim c_n\]

    a volme ε > 0. Potom od nějakého indexu počínaje platí:

    1. cnbnan (podle předpokladu),

    2. Lanε (z definice limity),

    3. Lcn + ε (z definice limity) a konečně

    4. cnanε (též z definice limity, neboť lim (ancn) = 0).

    Proto

    \[b_n-L \overset{(2)}{\leq} b_n - (a_n - \varepsilon) \overset{(1)}{\leq} c_n - a_n + \varepsilon \overset{(4)}{\leq} 2\varepsilon\]

    a zároveň

    \[L-b_n \overset{(3)}{\leq} c_n+\varepsilon - b_n \overset{(1)}{\leq} c_n+\varepsilon -a_n = (c_n-a_n) + \varepsilon \overset{(1)}{\leq} 2\varepsilon.\]

    Odtud tedy vyplývá, že

    \[|b_n-L| \leq 2\varepsilon.\]

    Z definice limity tudíž vyplývá, že lim bn existuje a je rovna L.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze