Některé rovnice dalšího typu I.
Úloha číslo: 1855
Nalezněte nad \(\mathbb{R}\) obecné řešení rovnice \(y'=(x+y)^2\).
Bezejmenná rovnice.
Rovnice typu \(y'=f(ax+by+c)\)
Pro rovnice typu \(y'=f(ax+by+c)\) sice nemáme speciální název, jejich obecného řešení se však dobrat umíme.
Uvažme nyní pouze případ, kdy koeficienty \(a,b \ne 0\). V opačném případě, kdy \(a = 0\) nebo\(b = 0\), jde zjevně o jednu z již dříve řešených rovnic typu \(y'=f(y)\) nebo \(y'=f(x)\).
V okamžiku, kdy je výše uvedená podmínka splněna, užíváme pro řešení substituce
\[u(x)=ax+by+c \,.\]Funkci \(y(x)\) tak lze vyjádřit jako
\[y(x)=\frac{u(x)-ax-c}{b}\]a s tím spojenou derivaci \(y'(x)\) pak
\[y'(x)=\frac{u'(x)-a}{b} \,.\]Řešená rovnice \(y'=f(ax+by+c)\) tak nabude tvaru
\[\frac{u'(x)-a}{b}=f(u)\,,\]kdy \(f(u)\) reprezentuje pravou stranu původní rovnice po zavedení substituce.
Celkově tedy získáme rovnici se separovanými proměnnými (Separace proměnných)
\[\frac{u'}{bf(u)+a}=1 \,.\]Stejně jako v případě homogenní rovnice (Homogenní rovnice) i nyní můžeme výsledný vztah pro \(u'(x)\) chápat jako obecný vzorec.
K hledané funkci \(y(x)\) konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu, nebo-li
\[y(x)=\frac{u(x)-ax-c}{b} \,.\]Substituce
Na první pohled vidíme, že se jedná o rovnici \(y'=f(ax+by+c)\). V souladu s osvojeným postupem nejprve zaveďme substituci vedoucí k rovnici se separovanými proměnnými.
Integrace
Pomocí integrace a následné zpětné substituce konečně nalezněte hledané řešení původní rovnice.
Řešení
Na první pohled vidíme, že se jedná o rovnici \(y'=f(x+y)\). V souladu s osvojeným postupem nejprve zavedeme substituci vedoucí k rovnici se separovanými proměnnými.
\[u(x)=x+y \,\]Pro derivaci \(y'(x)\) pak v řeči \(u\) bude platit
\[y'(x)=u'-1 \,.\]Řešenou rovnici \(y'=(x+y)^2\) tak celkově převádíme na
\[u'-1 =(u)^2 \,,\]což je diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
\[\frac{u'}{1+u^2} =1 \,,\]na jejíž levé i pravé straně se nacházejí spojité funkce.
Po následné integraci
\[\int\frac{du}{1+u^2} =\int 1 \mathrm{d} x\]a nalezení příslušných primitivních funkcí
\[\mathrm{arctg}\,(u) =x+C;\, C \in \mathbb{R} \,,\]tak pro funkci $ u(x) $ získáváme vztah
\[u(x) =\mathrm{tg}\,(x+C)\,.\]K hledané funkci $ y(x) $ konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu
\[y(x) =\mathrm{tg}\,(x+C)-x\,.\]
