Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Některé rovnice dalšího typu I.

Úloha číslo: 1855

Nalezněte nad \(\mathbb{R}\) obecné řešení rovnice \(y'=(x+y)^2\).

  • Bezejmenná rovnice.

    Rovnice typu \(y'=f(ax+by+c)\)

    Pro rovnice typu \(y'=f(ax+by+c)\) sice nemáme speciální název, jejich obecného řešení se však dobrat umíme.

    Uvažme nyní pouze případ, kdy koeficienty \(a,b \ne 0\). V opačném případě, kdy \(a = 0\) nebo\(b = 0\), jde zjevně o jednu z již dříve řešených rovnic typu \(y'=f(y)\) nebo \(y'=f(x)\).

    V okamžiku, kdy je výše uvedená podmínka splněna, užíváme pro řešení substituce

    \[u(x)=ax+by+c \,.\]

    Funkci \(y(x)\) tak lze vyjádřit jako

    \[y(x)=\frac{u(x)-ax-c}{b}\]

    a s tím spojenou derivaci \(y'(x)\) pak

    \[y'(x)=\frac{u'(x)-a}{b} \,.\]

    Řešená rovnice \(y'=f(ax+by+c)\) tak nabude tvaru

    \[\frac{u'(x)-a}{b}=f(u)\,,\]

    kdy \(f(u)\) reprezentuje pravou stranu původní rovnice po zavedení substituce.

    Celkově tedy získáme rovnici se separovanými proměnnými (Separace proměnných)

    \[\frac{u'}{bf(u)+a}=1 \,.\]

    Stejně jako v případě homogenní rovnice (Homogenní rovnice) i nyní můžeme výsledný vztah pro \(u'(x)\) chápat jako obecný vzorec.

    K hledané funkci \(y(x)\) konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu, nebo-li

    \[y(x)=\frac{u(x)-ax-c}{b} \,.\]
  • Substituce

    Na první pohled vidíme, že se jedná o rovnici \(y'=f(ax+by+c)\). V souladu s osvojeným postupem nejprve zaveďme substituci vedoucí k rovnici se separovanými proměnnými.

  • Integrace

    Pomocí integrace a následné zpětné substituce konečně nalezněte hledané řešení původní rovnice.

  • Řešení

    Na první pohled vidíme, že se jedná o rovnici \(y'=f(x+y)\). V souladu s osvojeným postupem nejprve zavedeme substituci vedoucí k rovnici se separovanými proměnnými.

    \[u(x)=x+y \,\]

    Pro derivaci \(y'(x)\) pak v řeči \(u\) bude platit

    \[y'(x)=u'-1 \,.\]

    Řešenou rovnici \(y'=(x+y)^2\) tak celkově převádíme na

    \[u'-1 =(u)^2 \,,\]

    což je diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

    \[\frac{u'}{1+u^2} =1 \,,\]

    na jejíž levé i pravé straně se nacházejí spojité funkce.

    Po následné integraci

    \[\int\frac{du}{1+u^2} =\int 1 \mathrm{d} x\]

    a nalezení příslušných primitivních funkcí

    \[\mathrm{arctg}\,(u) =x+C;\, C \in \mathbb{R} \,,\]

    tak pro funkci $ u(x) $ získáváme vztah

    \[u(x) =\mathrm{tg}\,(x+C)\,.\]

    K hledané funkci $ y(x) $ konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu

    \[y(x) =\mathrm{tg}\,(x+C)-x\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze