Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Integrace lomené racionální funkce IV.

Úloha číslo: 1489

Najděte primitivní funkci k

\[f(x)=\frac{3}{2x-1}\]
  • Motivace

    Výrazy typu \(\frac{1}{w}\) itegrujeme následovným způsobem

    \[\int\frac{1}{w}dw=\ln{|w|} + c ;c \in \mathbb{R}\]

    Pokud tedy v zadané funkci vidíme náznak výrazu \(\frac{1}{w}\), za využití vhodné substituce či série vhodných substitucí, výraz převedeme do kýžené podoby, zintegrujeme a následně nalezneme vhodnou primitivní funkci zpětnou substitucí.

    Více o substituční metodě nalezneme v úloze Substituce.

  • Substituce

    Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na výraz typu konstanta krát \(\frac{1}{w}\).

  • Integrace

    Za pomoci známých používaných primitivních funkcí (ta konkrétní je uvedena v motivaci úlohy) substituovaný výraz zintegrujte.

  • Řešení

    Řešený integrál vypadá následovně

    \[F(x)=\int\frac{3}{2x-1}dx\]

    Výraz \(\frac{3}{2x-1}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w}\), substitujeme proto

    \[w=2x-1\]

    jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

    \[dw=2dx\]

    a tedy

    \[dx=\frac{dw}{2}\]

    celkově po dosazení obdržíme

    \[\int\frac{3}{2x-1}dx=\frac{3}{2}\int\frac{1}{w}dw\]

    Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

    \[\frac{3}{2}\int\frac{1}{w}dw=\frac{3}{2}\ln{|w|}+c\]

    a po zpětné substituci pak koneřný výsledek

    \[F(x)=\frac{3}{2}\ln{|2x-1|}+c\]
  • Výsledek

    \[F(x)=\frac{3}{2}\ln{|2x-1|}+c\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze