Integrace lomené racionální funkce IV.
Úloha číslo: 1489
Najděte primitivní funkci k
\[f(x)=\frac{3}{2x-1}\]Motivace
Výrazy typu \(\frac{1}{w}\) itegrujeme následovným způsobem
\[\int\frac{1}{w}dw=\ln{|w|} + c ;c \in \mathbb{R}\]Pokud tedy v zadané funkci vidíme náznak výrazu \(\frac{1}{w}\), za využití vhodné substituce či série vhodných substitucí, výraz převedeme do kýžené podoby, zintegrujeme a následně nalezneme vhodnou primitivní funkci zpětnou substitucí.
Více o substituční metodě nalezneme v úloze Substituce.
Substituce
Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na výraz typu konstanta krát \(\frac{1}{w}\).
Integrace
Za pomoci známých používaných primitivních funkcí (ta konkrétní je uvedena v motivaci úlohy) substituovaný výraz zintegrujte.
Řešení
Řešený integrál vypadá následovně
\[F(x)=\int\frac{3}{2x-1}dx\]Výraz \(\frac{3}{2x-1}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w}\), substitujeme proto
\[w=2x-1\]jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit
\[dw=2dx\]a tedy
\[dx=\frac{dw}{2}\]celkově po dosazení obdržíme
\[\int\frac{3}{2x-1}dx=\frac{3}{2}\int\frac{1}{w}dw\]Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.
\[\frac{3}{2}\int\frac{1}{w}dw=\frac{3}{2}\ln{|w|}+c\]a po zpětné substituci pak koneřný výsledek
\[F(x)=\frac{3}{2}\ln{|2x-1|}+c\]Výsledek
\[F(x)=\frac{3}{2}\ln{|2x-1|}+c\]Další úloha v sérii
