Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti

Úloha číslo: 844

Dokažte následující tvrzení:

Jestliže {an} a {bn} jsou posloupnosti reálných čísel, posloupnost {an} je omezená a lim bn = 0, potom existuje také lim (anbn) a platí

\[\lim_{\small n\to\infty} \ a_nb_n = 0.\]
  • Řešení

    Dokazujeme následující tvrzení:

    Jestliže {an} a {bn} jsou posloupnosti reálných čísel, posloupnost {an} je omezená a lim bn = 0, potom existuje také lim (anbn) a platí

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ a_nb_n = 0.\]

    Dokazovat budeme pomocí definice limity.

    Chceme ukázat, že pro každé ε > 0 existuje N přirozené takové, že pro každé n > N je

    \[\left|a_nb_n\right| < \varepsilon.\]

    Protože předpokládáme, že posloupnost {an} je omezená, existuje reálné číslo M takové, že pro všechna přirozená n platí

    \[|a_n| \leq M.\]

    A protože předpokládáme, že posloupnost {bn} má nulovou limitu, existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna přirozená n > N platí, že

    \[|b_n| < \frac{\varepsilon}{M}.\]

    Potom ale pro všechna přirozená n > N platí, že

    \[\left|a_nb_n\right| \leq M|b_n| < M\cdot\frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon,\]

    což jsme chtěli dokázat.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze