Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti
Úloha číslo: 844
Dokažte následující tvrzení:
Jestliže {an} a {bn} jsou posloupnosti reálných čísel, posloupnost {an} je omezená a lim bn = 0, potom existuje také lim (anbn) a platí
\[\lim_{\small n\to\infty} \ a_nb_n = 0.\]Řešení
Dokazujeme následující tvrzení:
Jestliže {an} a {bn} jsou posloupnosti reálných čísel, posloupnost {an} je omezená a lim bn = 0, potom existuje také lim (anbn) a platí
\[\lim_{\small n\to\infty} \ a_nb_n = 0.\]Dokazovat budeme pomocí definice limity.
Chceme ukázat, že pro každé ε > 0 existuje N přirozené takové, že pro každé n > N je
\[\left|a_nb_n\right| < \varepsilon.\]Protože předpokládáme, že posloupnost {an} je omezená, existuje reálné číslo M takové, že pro všechna přirozená n platí
\[|a_n| \leq M.\]A protože předpokládáme, že posloupnost {bn} má nulovou limitu, existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna přirozená n > N platí, že
\[|b_n| < \frac{\varepsilon}{M}.\]Potom ale pro všechna přirozená n > N platí, že
\[\left|a_nb_n\right| \leq M|b_n| < M\cdot\frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon,\]což jsme chtěli dokázat.
