Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny I
Úloha číslo: 823
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt[4]{2n^2+n}}{\sqrt[6]{3n^3+n}}\]Nápověda
Z každé odmocniny v čitateli i jmenovateli vytkněte nejvyšší mocninu n a poté vytkněte opět z celého čitatele i jmenovatele n s nejvyšším řádem.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt[4]{2n^2+n}}{\sqrt[6]{3n^3+n}}.\]Postupným vytýkáním dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}+\sqrt[4]{n^2}\sqrt[4]{2+1/n}}{\sqrt[6]{n^3}\sqrt[6]{3+1/n^2}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}+\sqrt{n}\sqrt[4]{2+1/n}}{\sqrt{n}\sqrt[6]{3+1/n^2}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\left(1+\sqrt{1+1/n}+\sqrt[4]{2+1/n}\right)}{\sqrt{n}\sqrt[6]{3+1/n^2}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1+\sqrt{1+1/n}+\sqrt[4]{2+1/n}}{\sqrt[6]{3+1/n^2}}.\]Použitím věty o aritmetice limit a části (a) úlohy Limita pod odmocninou I můžeme zalimitit v každé odmocnině zvlášť (bude-li mít výsledek smysl), dostaneme tak
\[ \lim_{\small n\to\infty} \frac{1+\sqrt{1+1/n}+\sqrt[4]{2+1/n}}{\sqrt[6]{3+1/n^2}} = \] \[ = \frac{1+\sqrt{1+0}+\sqrt[4]{2+0}}{\sqrt[6]{3+0}} = \frac{2+\sqrt[4]{2}}{\sqrt[6]{3}}.\]
