Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Jednoznačnost limity posloupnosti

Úloha číslo: 785

Ukažte pouze s využitím definic vlastní a nevlastní limity posloupnosti, že každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu (vlastní nebo nevlastní).

Poznámka: v úloze Neexistence limity posloupnosti je uveden příklad posloupnosti, která nemá vlastní ani nevlastní limitu.

  • Rozbor

    Intuitivně je tvrzení poměrně jasné. Není možné se neomezeně blížit dvěma různým číslům nebo současně růst i klesat pod každou mez či se současně blížit k nějakému číslu a současně např. růst nade všechny meze.

    Řešení úlohy je tak spíše cvičením, jak tyto na první pohled zřejmé skutečnosti správně převést do formálního jazyka matematiky.

  • Řešení sporem – dvě různé vlastní limity

    Budeme dokazovat sporem.

    Předpokládejme pro spor, že posloupnost {an} má (alespoň) dvě různé limity L1 a L2. Budeme postupovat rozborem případů.

    V této části předpokládejme, že obě limity jsou vlastní, tj. jsou to různá reálná čísla. Zvolme u obou těchto čísel taková okolí, aby se navzájem neprotínala.

    To lze provést například takto. Pokud označíme d = |L1L2| vzdálenost obou čísel, potom intervaly

    \[(L_1 - d/4, L_1 + d/4), \qquad (L_2 - d/4, L_2+d/4)\]

    obsahují všechna reálná čísla, která jsou vzdálena od čísla L1, resp. L2 nejvýše o jednu čtvrtinu vzdálenosti mezi těmito čísly. Tyto intervaly jsou tedy logicky disjunktní, formálně to lze dokázat například pomocí nerovnosti

    \[|a-b| \geq |a| - |b|\]

    platné pro všechna reálná čísla a a b. Zvolíme-li totiž libovolné x z intervalu (L1d/4, L1 + d/4), potom

    \[|L_2-x| = |(L_2-L_1)-(x-L_1)| \geq \] \[|L_2-L_1| - |x-L_1| \geq d - d/4 = 3d/4 > d/4,\]

    což znamená, že x má od čísla L2 vzdálenost větší než d/4, a tudíž nemůže ležet v intervalu (L2d/4, L2 + d/4).

    Volme nyní ε = d/4. Protože číslo L1 je vlastní limitou posloupnosti {an}, existuje podle definice vlastní limity posloupnosti přirozené číslo n0 tak, že pro všechna n > n0 přirozená je |an - L1| < ε = d/4.

    Tudíž podle nerovnosti dokázané výše všechna an od indexu n0 počínaje mají od čísla L2 vzdálenost větší než d/4. Pro zvolené ε = d/4 (nebo libovolné menší) tudíž neexistuje index, od něhož počínaje by byly všechny ostatní členy posloupnosti vzdáleny od čísla L2 o méně než toto zvolené ε. Což je spor s tím, že číslo L2 je (také) vlastní limitou posloupnosti {an}.

  • Řešení sporem – dvě různé nevlastní limity

    Dokazujeme sporem.

    Předpokládáme pro spor, že posloupnost {an} má (alespoň) dvě různé limity L1 a L2. Postupujeme rozborem případů.

    V této části předpokládejme, že obě limity jsou nevlastní, tj. jedna rovna +∞ a druhá –∞.

    Ke sporu lze dojít například takto. Je-li +∞ limitou posloupnosti {an}, potom pro libovolně zvolené číslo K existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n1 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou větší než K.

    A naopak, je-li –∞ limitou posloupnosti {an}, potom existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n2 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou menší než K.

    Docházíme tedy k závěru, že pro všechna přirozená čísla, která jsou současně větší než n1 i n2, jsou členy posloupnosti an současně větší i menší než číslo K. Což je zřejmý spor.

  • Řešení sporem – vlastní a nevlastní limita

    Dokazujeme sporem.

    Předpokládáme pro spor, že posloupnost {an} má (alespoň) dvě různé limity L1 a L2. Postupujeme rozborem případů.

    V této části předpokládejme, že limita L1 (označme ji dále krátce L) je vlastní a druhá limita je nevlastní, tj. buď +∞ nebo –∞.

    Volme ε = 1. Z definice vlastní limity posloupnosti vyplývá, že od nějakého indexu n1 počínaje jsou všechny členy posloupnosti větší než L – 1 a menší než L + 1.

    Je-li ale +∞ limitou posloupnosti {an}, potom pro libovolně zvolené číslo K existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n2 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou větší než K. Volíme-li K právě jako L + 1, potom dostáváme, že pro všechna přirozená čísla, která jsou současně větší než n1 a n2, jsou členy posloupnosti současně menší i větší než číslo L + 1, což je samozřejmě spor.

    Je-li naopak –∞ limitou posloupnosti {an}, potom pro libovolně zvolené číslo K existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n2 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou menší než K. Volíme-li K právě jako L – 1, potom dostáváme, že pro všechna přirozená čísla, která jsou současně větší než n1 a n2, jsou členy posloupnosti současně menší i větší než číslo L – 1, což je opět spor. Jiné možnosti už ale nezbývají, a proto je důkaz hotov.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze