Jednoznačnost limity posloupnosti
Úloha číslo: 785
Ukažte pouze s využitím definic vlastní a nevlastní limity posloupnosti, že každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu (vlastní nebo nevlastní).
Poznámka: v úloze Neexistence limity posloupnosti je uveden příklad posloupnosti, která nemá vlastní ani nevlastní limitu.
Rozbor
Intuitivně je tvrzení poměrně jasné. Není možné se neomezeně blížit dvěma různým číslům nebo současně růst i klesat pod každou mez či se současně blížit k nějakému číslu a současně např. růst nade všechny meze.
Řešení úlohy je tak spíše cvičením, jak tyto na první pohled zřejmé skutečnosti správně převést do formálního jazyka matematiky.
Řešení sporem – dvě různé vlastní limity
Budeme dokazovat sporem.
Předpokládejme pro spor, že posloupnost {an} má (alespoň) dvě různé limity L1 a L2. Budeme postupovat rozborem případů.
V této části předpokládejme, že obě limity jsou vlastní, tj. jsou to různá reálná čísla. Zvolme u obou těchto čísel taková okolí, aby se navzájem neprotínala.
To lze provést například takto. Pokud označíme d = |L1 – L2| vzdálenost obou čísel, potom intervaly
\[(L_1 - d/4, L_1 + d/4), \qquad (L_2 - d/4, L_2+d/4)\]obsahují všechna reálná čísla, která jsou vzdálena od čísla L1, resp. L2 nejvýše o jednu čtvrtinu vzdálenosti mezi těmito čísly. Tyto intervaly jsou tedy logicky disjunktní, formálně to lze dokázat například pomocí nerovnosti
\[|a-b| \geq |a| - |b|\]platné pro všechna reálná čísla a a b. Zvolíme-li totiž libovolné x z intervalu (L1 – d/4, L1 + d/4), potom
\[|L_2-x| = |(L_2-L_1)-(x-L_1)| \geq \] \[|L_2-L_1| - |x-L_1| \geq d - d/4 = 3d/4 > d/4,\]což znamená, že x má od čísla L2 vzdálenost větší než d/4, a tudíž nemůže ležet v intervalu (L2 – d/4, L2 + d/4).
Volme nyní ε = d/4. Protože číslo L1 je vlastní limitou posloupnosti {an}, existuje podle definice vlastní limity posloupnosti přirozené číslo n0 tak, že pro všechna n > n0 přirozená je |an - L1| < ε = d/4.
Tudíž podle nerovnosti dokázané výše všechna an od indexu n0 počínaje mají od čísla L2 vzdálenost větší než d/4. Pro zvolené ε = d/4 (nebo libovolné menší) tudíž neexistuje index, od něhož počínaje by byly všechny ostatní členy posloupnosti vzdáleny od čísla L2 o méně než toto zvolené ε. Což je spor s tím, že číslo L2 je (také) vlastní limitou posloupnosti {an}.
Řešení sporem – dvě různé nevlastní limity
Dokazujeme sporem.
Předpokládáme pro spor, že posloupnost {an} má (alespoň) dvě různé limity L1 a L2. Postupujeme rozborem případů.
V této části předpokládejme, že obě limity jsou nevlastní, tj. jedna rovna +∞ a druhá –∞.
Ke sporu lze dojít například takto. Je-li +∞ limitou posloupnosti {an}, potom pro libovolně zvolené číslo K existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n1 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou větší než K.
A naopak, je-li –∞ limitou posloupnosti {an}, potom existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n2 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou menší než K.
Docházíme tedy k závěru, že pro všechna přirozená čísla, která jsou současně větší než n1 i n2, jsou členy posloupnosti an současně větší i menší než číslo K. Což je zřejmý spor.
Řešení sporem – vlastní a nevlastní limita
Dokazujeme sporem.
Předpokládáme pro spor, že posloupnost {an} má (alespoň) dvě různé limity L1 a L2. Postupujeme rozborem případů.
V této části předpokládejme, že limita L1 (označme ji dále krátce L) je vlastní a druhá limita je nevlastní, tj. buď +∞ nebo –∞.
Volme ε = 1. Z definice vlastní limity posloupnosti vyplývá, že od nějakého indexu n1 počínaje jsou všechny členy posloupnosti větší než L – 1 a menší než L + 1.
Je-li ale +∞ limitou posloupnosti {an}, potom pro libovolně zvolené číslo K existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n2 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou větší než K. Volíme-li K právě jako L + 1, potom dostáváme, že pro všechna přirozená čísla, která jsou současně větší než n1 a n2, jsou členy posloupnosti současně menší i větší než číslo L + 1, což je samozřejmě spor.
Je-li naopak –∞ limitou posloupnosti {an}, potom pro libovolně zvolené číslo K existuje podle definice nevlastní limity posloupnosti index n2 takový, že všechny členy posloupnosti od něj počínaje jsou menší než K. Volíme-li K právě jako L – 1, potom dostáváme, že pro všechna přirozená čísla, která jsou současně větší než n1 a n2, jsou členy posloupnosti současně menší i větší než číslo L – 1, což je opět spor. Jiné možnosti už ale nezbývají, a proto je důkaz hotov.
