Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální posloupnosti s parametrem IV
Úloha číslo: 822
Určete následující limitu v závislosti na hodnotě reálných parametrů α a β
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{20}+(-1+\frac{1}{n})^{20}-\alpha}{n^\beta}.\]Řešení
Určujeme limitu v závislosti na hodnotě reálných parametrů α a β
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{20}+(-1+\frac{1}{n})^{20}-\alpha}{n^\beta}.\]Podle binomické věty můžeme pro čitatel psát, že
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{20}+\left(-1+\frac{1}{n}\right)^{20}-\alpha = \] \[ = 1 + \frac{20}{n} + \frac{190}{n^2} + 1 - \frac{20}{n} + \frac{190}{n^2} - \alpha + C(n) = \] \[ = 2 - \alpha + \frac{380}{n^2} + C(n),\]kde C(n) je výraz tvaru
\[C(n) = \frac{c_3}{n^3}+\ldots+\frac{c_{20}}{n^{20}},\]přičemž c3, ..., c20 jsou reálné konstanty, jež, jak uvidíme, nemusíme pro výpočet limity přesně vyčíslovat.
Můžeme tedy psát
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{20}+(-1+\frac{1}{n})^{20}-\alpha}{n^\beta} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2-\alpha + \frac{380}{n^2} + C(n)}{n^\beta}.\]1. Všimněme si, že limita čitatele je 2–α, tedy je nenulová pro α ≠ 2.
1a. Je-li v takovém případě β > 0, máme
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2-\alpha + \frac{380}{n^2} + C(n)}{n^\beta} = \frac{2-\alpha}{+\infty} = 0.\]1b. Je-li dále α ≠ 2 a β < 0, máme
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2-\alpha + \frac{380}{n^2} + C(n)}{n^\beta} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \left(2-\alpha + \frac{380}{n^2} + C(n)\right)\cdot n^{-\beta} = (2-\alpha)\cdot (+\infty) = \] \[ = \left\{ \begin{align} +\infty \quad \alpha > 2, \\ -\infty \quad \alpha < 2. \end{align}\right.\]1c. Je-li dále α ≠ 2 a β = 0, máme
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2-\alpha + \frac{380}{n^2} + C(n)}{n^\beta} = \] \[ \lim_{\small n\to\infty} \left(2-\alpha + \frac{380}{n^2} + C(n)\right) = 2-\alpha.\]2. Zbývá rozebrat případ, kdy α = 2. Limitu lze v tom případě přepsat na tvar
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\frac{380}{n^2} + C(n)}{n^\beta} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{380+n^2C(n)}{n^{\beta+2}}.\]Protože
\[\lim_{\small n\to\infty} n^2C(n) = \lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{c_3}{n}+\cdots+\frac{c_{20}}{n^{18}}\right) = 0,\]stejným postupem jako v předchozí části dostaneme, že
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{380+n^2C(n)}{n^{\beta+2}} = \left\{\begin{align} +\infty & \qquad \beta < -2 \\ 380 & \qquad \beta = -2 \\ 0 & \qquad \beta > -2 \end{align}\right.\]Shrnutí
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{20}+(-1+\frac{1}{n})^{20}-\alpha}{n^\beta} =\] \[=\left\{\begin{align} 2-\alpha \qquad \alpha\neq 2, \ \beta = 0, \\ 0 \qquad \alpha\neq 2, \ \beta > 0, \\ +\infty \qquad \alpha>2, \ \beta < 0, \\ -\infty \qquad \alpha<2, \ \beta < 0, \\ 380 \qquad \alpha = 2, \ \beta = -2, \\ 0 \qquad \alpha = 2, \ \beta > -2, \\ +\infty \qquad \alpha = 2, \ \beta < -2. \end{align}\right.\]
