Nutná podmínka pro nabývání lokálních extrémů
Úloha číslo: 1352
Dokažte následující tvrzení.
Nechť f je reálná funkce. Jestliže a je bodem lokálního extrému funkce f, potom buď \(f^{\prime}(a)\) neexistuje nebo \(f^{\prime}(a) = 0\).
Řešení
Pokud derivace \(f^{\prime}(a)\) existuje a je různá od nuly, potom pro každé ε kladné podle definice derivace jako limity existuje prstencové okolí P bodu a takové, že pro všechna x z tohoto prstencového okolí platí
\[\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)\right| < \varepsilon,\]kde ε může být libovolně zvoleno. Pokud jej zvolíme dostatečně malé, např.
\[\varepsilon = \left|\frac{f^\prime(a)}{2}\right|,\]potom výraz
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]je nenulový a navíc nemění na tomto prstencovém okolí znaménko. Je-li tento výraz kladný, potom
\[f(x) < f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x<a\]a
\[f(x) > f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x>a.\]Je-li naopak tento výraz záporný, potom
\[f(x) < f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x>a\]a
\[f(x) > f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x<a.\]V obou případech nemůže být bod a lokálním extrémem, neboť každé jeho okolí obsahuje body, kde funkce f nabývá hodnot větších i menších než f(a).
