Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Nutná podmínka pro nabývání lokálních extrémů

Úloha číslo: 1352

Dokažte následující tvrzení.

Nechť f je reálná funkce. Jestliže a je bodem lokálního extrému funkce f, potom buď \(f^{\prime}(a)\) neexistuje nebo \(f^{\prime}(a) = 0\).

  • Řešení

    Pokud derivace \(f^{\prime}(a)\) existuje a je různá od nuly, potom pro každé ε kladné podle definice derivace jako limity existuje prstencové okolí P bodu a takové, že pro všechna x z tohoto prstencového okolí platí

    \[\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)\right| < \varepsilon,\]

    kde ε může být libovolně zvoleno. Pokud jej zvolíme dostatečně malé, např.

    \[\varepsilon = \left|\frac{f^\prime(a)}{2}\right|,\]

    potom výraz

    \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

    je nenulový a navíc nemění na tomto prstencovém okolí znaménko. Je-li tento výraz kladný, potom

    \[f(x) < f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x<a\]

    a

    \[f(x) > f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x>a.\]

    Je-li naopak tento výraz záporný, potom

    \[f(x) < f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x>a\]

    a

    \[f(x) > f(a), \qquad \textrm{pro } x\in P,\ x<a.\]

    V obou případech nemůže být bod a lokálním extrémem, neboť každé jeho okolí obsahuje body, kde funkce f nabývá hodnot větších i menších než f(a).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze