Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou II.
Úloha číslo: 1871
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''-y'=x^2\mathrm{e}^{x}\).
Rovnice s pravou stranou
V úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I. jsme si ukázali jak postupovat v jednodušším případě, kdy \(\alpha, \beta =0\). Uvažme dále možnost, že jsou tyto konstanty libovolná reálná čísla, řešíme pak rovnici
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots + a_0y = \mathrm{e}^{\alpha x}\bigl(P_p(x)\cos \beta x + Q_q(x)\sin \beta x \bigr)\,.\] Nyní si však vystačíme si s tvrzením (více například v Kopacek J.: Matematická analýza nejen pro fyziky II., 2. vydání, vydavatelství MATFYZPRESS, Praha, 2007, ISBN 80-86732-10-X, strana 46 - 48), že je-li \(\lambda = \alpha + \beta i\) \(k\)-násobným kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení ve tvaru \[y_p=x^k \mathrm{e}^{\alpha x}\bigl(S_s(x)\cos \beta x + T_s(x)\sin \beta x \bigr) \,,\]kde \(s\) odpovídá většímu z čísel \(p,q\) a \(S_s\), \(T_s\) jsou obecné polynomy stupně \(s\).
Stejně jako v předchozím zjednodušeném přiblížení i nyní navrhované řešení \(y_p\) dosadíme do řešené rovnice a z následné rovnosti odpovídajících si koeficientů získáme soustavu rovnic, a jejím řešením pak i konkrétní podobu jednotlivých koeficientů.
Homogenní rovnice
Nejprve vyřešte příslušnou homogenní rovnici \(y''-y'=0\)
Poznamenjme, že tuto homogenní rovnici jsme již řešili v úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I., nebudeme proto opět uvádět kompletní cestu k jejímu řešení.
Partikulární řešení rovnice s pravou stranou
V souladu s teorií v úvodu úlohy a podoby pravé strany navrhněte vhodnou podobu partikulárního řešeního řešení rovnice s pravou stranou.
Konkrétní podoba partikulárního řešení
Pomocí metody porovnávání koeficientů a výchozí rovnice určete konkrétní podobu koeficientů obsažených ve vámi navrhovaném partikulárním řešení rovnice s pravou stranou.
Celková podoba obecného řešení
Pomocí získaného obecného řešení homogenní rovnice a získaného partikulárního řešení rovnice s pravou stranou nyní vyjádřete obecné řešení zadané rovnice.
Řešení
V úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I. jsme došli k následujícímu podobě obecného řešení příslušné homogenní rovnice
\[y_h=c_1+c_2\mathrm{e}^x \,.\]Zbývá určit partikulární řešení nehomogenní rovnice \(y_p\). Uvědomíme si, že jde o rovnice se speciální pravou stranou ve tvaru \(P_p(x)\mathrm{e}^{\alpha x }\), kde \(P_2(x) = x^2\), \(\beta = 0\), \(\alpha= 1\) a \(s=2\). Dále vzhledem ke skutečnosti, že je \(\lambda = 1 + 0 i =1\) jednonásobným kořenem této rovnice, pokládáme \(k = 1\). Hledané partikulární řešení tak celkově navrhujeme ve tvaru
\[y_p=x^1 \mathrm{e}^{1 x}\bigl( S_2(x)\cos 0 x + T_2(x)\sin 0 x \bigr)=x \mathrm{e}^{ x}( ax^2+bx+c )= \mathrm{e}^{ x}( ax^3+bx^2+cx ) \,.\]Pro derivace \(y'_p, y''_p\) platí
\[\begin{align*} y'_p &=\mathrm{e}^x (ax^3+bx^2+cx)+\mathrm{e}^x (3ax^2+2bx+c)\\ &=\mathrm{e}^x \bigl(ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+c\bigr)\\ y''_p&=\mathrm{e}^x \bigl(ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+c\bigr)+\mathrm{e}^x \bigl(3ax^2+2(3a+b)x+(2b+c)\bigr)\\ &=\mathrm{e}^x \bigl(ax^3+(6a+b)x^2+(6a+4b+c)x\bigr)+(2b+2c) \,. \end{align*}\]Následným dosazením \(y'_p, y''_p\) do řešené rovnice obdržíme
\[\mathrm{e}^x \bigl(ax^3+(6a+b)x^2+(6a+4b+c)x\bigr)+(2b+2c)- \mathrm{e}^x \bigl(ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+c\bigr)= \] \[=x^2\mathrm{e}^x\,.\]Po krácení výrazem \(\mathrm{e}^x\) a dalších úpravách získáme
\[\begin{align*} 3ax^2+(6a+2b)x+(2b+c)&= x^2\\ 3ax^2+(6a+2b)x+(2b+c)&= x^2+0x+0\,. \end{align*}\]Porovnáváním koeficientů u příslušných mocnin dojdeme k soustavě rovnic
\[\begin{align*} 3a&=1 \\ 6a + 2b&= 0 \\ 2b+c&=0\,, \end{align*}\]jíž přísluší řešení \(a=\frac{1}{3}\), \(b=-1\) a \(c=2\). Pro partikulární řešení tak celkově získáváme
\[y_p=\mathrm{e}^x\left(\frac{1}{3}x^3-x^2+2x\right)\,.\]S přihlédnutím ke skutečnosti, že \(y=y_h+y_p\) tak pro hledané obecné řešení platí
\[y=y_h+y_p=c_1+c_2\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x\left(\frac{1}{3}x^3-x^2+2x\right) \,.\]
