Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Per partes

Úloha číslo: 1267

Zformulujte a dokažte větu o integraci per partes.

  • Motivace

    Větu o integraci per partes užíváme v případě, že v řešeném integrálu nevidíme možnost vhodné substituce (což může být rychlejší i pohodlnější), ale jsme schopni integrovaný výraz pomyslně rozdělit na součin dvou funkcí. Zejména jde o případ součinu polynomu a exponeciální funkce, polynomu a goniometrické funkce, nebo exponenciální a goniometrické funkce, případně dvou goniometrických funkcí. Integrace per partes lze také někdy použít pro integraci cyklometrických nebo logaritmických funkcí, kde v roli druhé funkce vystupuje jednička, již můžeme přidat kdykoli.

    Výpočet integrálu může zahrnovat také použití věty o integraci per partes vícekrát v řadě za sebou. Typické případy jsou dva. Prvním je součin polynomu vyššího stupně a exponenciální či goniometrické funkce, kdy při každé aplikaci věty o per partes snižujeme stupeň polynomu uvnitř integrálu, až tento nakonec vymizí. Druhým je součin exponenciální a goniometrické funkce nebo dvou goniometrických funkcí, kdy per partes používáme typicky dvakrát, přičemž po druhé aplikaci věty odvodíme stejný integrál, z něhož jsme vyšli, ale přenásobený číslem různým od jedné. Postup tak vede k rovnici, kde se na levé i pravé straně vyskytuje hledaný integrál a z níž jej lze již snadnou úpravou vyjádřit.

    Poznamenejme na závěr, že ne každý integrál, obsahující součin funkcí, je touto metodou řešitelný.

  • Znění

    Věta o integraci per partes zní

    Nechť existuje otevřený interval \(I\), na kterém je funkce \(g^\prime\) spojitá. Nechť je dále na \(I\) \(g\) primitivní funkce k funkci \(g^\prime\) a \(f\) primitivní funkce k funkci \(f^\prime\), potom platí

    \[\int\limits_{a}^{b}{f^{'}{(x)}g(x)}dx=\bigl[ f(x)g(x)\bigr]_a^b-\int\limits_{a}^{b}{f(x)g^{'}(x)}dx\]
  • Důkaz

    Dokažte platnost věty o integraci per partes za využití věty o derivaci součinu.

  • Další úlohy s per partes

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze