Sbírka řešených úloh

Per partes

Úloha číslo: 1267

• Motivace

  Větu o integraci per partes užíváme v případě, že v řešeném integrálu nevidíme možnost vhodné substituce (což může být rychlejší i pohodlnější), ale jsme schopni integrovaný výraz pomyslně rozdělit na součin dvou funkcí. Zejména jde o případ součinu polynomu a exponeciální funkce, polynomu a goniometrické funkce, nebo exponenciální a goniometrické funkce, případně dvou goniometrických funkcí. Integrace per partes lze také někdy použít pro integraci cyklometrických nebo logaritmických funkcí, kde v roli druhé funkce vystupuje jednička, již můžeme přidat kdykoli.

  Výpočet integrálu může zahrnovat také použití věty o integraci per partes vícekrát v řadě za sebou. Typické případy jsou dva. Prvním je součin polynomu vyššího stupně a exponenciální či goniometrické funkce, kdy při každé aplikaci věty o per partes snižujeme stupeň polynomu uvnitř integrálu, až tento nakonec vymizí. Druhým je součin exponenciální a goniometrické funkce nebo dvou goniometrických funkcí, kdy per partes používáme typicky dvakrát, přičemž po druhé aplikaci věty odvodíme stejný integrál, z něhož jsme vyšli, ale přenásobený číslem různým od jedné. Postup tak vede k rovnici, kde se na levé i pravé straně vyskytuje hledaný integrál a z níž jej lze již snadnou úpravou vyjádřit.

  Poznamenejme na závěr, že ne každý integrál, obsahující součin funkcí, je touto metodou řešitelný.

• Znění

  Věta o integraci per partes zní

  Nechť existuje otevřený interval \(I\), na kterém je funkce \(g^\prime\) spojitá. Nechť je dále na \(I\) \(g\) primitivní funkce k funkci \(g^\prime\) a \(f\) primitivní funkce k funkci \(f^\prime\), potom platí

  \[\int\limits_{a}^{b}{f^{'}{(x)}g(x)}dx=\bigl[ f(x)g(x)\bigr]_a^b-\int\limits_{a}^{b}{f(x)g^{'}(x)}dx\]

• Důkaz

  Dokažte platnost věty o integraci per partes za využití věty o derivaci součinu.

• Důkaz - řešení

  V souladu s nápovědou užijeme k důkazu větu o derivaci součinu (větu můžeme využít za předpokladu, že jsou definovány derivace \(g^\prime, \, f^\prime\) na okolí nějakého bodu \(a\) a zároveň alespoň jedna z těchto derivací je na tomto okolí spojítá, což je splňěno, neboť \(g^\prime\) je na \(I\) spojitá a obě derivace existují - viz podmínky věty o integraci per partes), která říká

  \[(f(x)g(x))^{'}=f^{'}(x)g(x)+f(x)g(x)^{'}\]

  rovnost upravíme převedením výrazu \(f(x)g(x)^{'}\) z levé na pravou stranu rovnosti jako

  \[f^{'}(x)g(x)=(f(x)g(x))^{'}-f(x)g(x)^{'}\]

  a následně obě strany rovnosti integrujeme

  \[\int\limits_{a}^{b}{f^{'}{(x)}g(x)}dx=\int\limits_{a}^{b}(f(x)g(x))^{'}dx-\int\limits_{a}^{b}{f(x)g^{'}(x)}dx\] \[\int\limits_{a}^{b}{f^{'}{(x)}g(x)}dx=\bigl[ f(x)g(x)\bigr]_a^b-\int\limits_{a}^{b}{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  čímž získáváme přesné znění věty o integraci per partes a důkaz je tímto zdárně ukončen.

• Poznámka

  Toto tvrzení se často nepřesně uvádí pro neurčitý integrál ve tvaru

  \[\int{f{(x)}G(x)}dx= F(x)G(x)-{F(x)g(x)}dx\]

  kde \(F, \, G\) reprezentují primitivní funkce k \(f, \, g\).

• Užití per partes

  Tvrdíme

  Nechť \(f,\, g\) jsou definované na otevrenem intervalu \(I\) a nechť na tomto intervalu existují jejich derivace \(f^\prime,g^\prime,\). Nechť má dále funkce \(f^\prime g\) primitivní funkci \(H\) na intervalu \(I\). Potom funkce \(fg - H\) je primitivni funkcí k funkci \(f g^\prime\) na intervalu \(I\).

  Pokuste se toto tvrzení dokázat.

• Užití per partes - důkaz - nápověda

  Pro důkaz tvrzení využijte derivace.

• Užití per partes - důkaz - řešení

  Tvrdíme

  \[\int f^\prime g = -H+fg\]

  přičemž platí \(\int f g^\prime = H \)

  obě strany rovnosti derivujeme (obě funkce jsou diferencovatelné a definované na témže intervalu)

  \[ f^\prime g = -H^\prime + f^\prime g + fg^\prime\]

  po vhodném přeuspořádání jednotlivých členů mezi stranami rovnosti

  \[ fg^\prime = H^\prime \]

  a tedy rovnost platí za platnosti podmínky

  \[ \int fg^\prime = H \]

  čímž je tvrzení dokázáno.

• Další úlohy s per partes

  Pro procvičení uveďme několik úloh, kde využijeme při integraci per partes

  Urči primitivní funkci metodou per partes

  Urči primitivní funkci metodou per partes I.

  Urči primitivní funkci metodou per partes II.

  Per partes I