Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Přehled základních primitivních funkcí

Úloha číslo: 1257

  1. ∫0dx=c;c∈R,x∈R

  2. ∫xbdx=xb+1b+1+c;b,c∈R,x∈R

  3. ∫1xdx=ln|x|+c;c∈R;x∈R,x≠0

  4. ∫exdx=ex+c;c∈R,x∈R

  5. ∫axdx=axlna+c;a,c,∈R;a>0;a≠1,x∈R

  6. ∫sinxdx=−cosx+c;c∈R,x∈R

  7. ∫cosxdx=sinx+c;b,a,c∈R,x∈R

  8. ∫1sin2xdx=−cotanx+c;c∈R;x∈(nπ,(n+1)π)n∈Z

  9. ∫1cos2xdx=tanx+c;,c∈R;x∈(nπ2,(n+1)π2)n∈Z

  10. ∫11+x2dx=arctanx+c=arctgx+b;b,c∈R,x∈R

  11. ∫1√1−x2dx=arcsinx+c=−aarccosx+b;b,c∈R;x∈(−1,1)

  12. ∫11−x2dx={12ln1+x1−x+c;|x|≠1arctghx+c;|x|<1arccotghx+c;|x|>1;c∈R

  13. ∫sinhxdx=coshx+c;c∈R,x∈R

  14. ∫coshxdx=sinhx+c;c∈R,x∈R

  15. ∫1sinh2xdx=cotanhx+c;c∈R,x∈R,x≠0

  16. ∫1cosh2xdx=tanhx+c;c∈R,x∈R

  17. ∫1√1+x2dx=argsinhx+c=ln(x+√1+x2)+b;c,b∈R,x∈R

  18. ∫1√x2−1dx={argcoshx+c;|x|<1ln(x+√x2−1)+c;|x|>1;c∈R

Přičemž platí tyto dvě vlastnosti:

  1. ∫f(x)+g(x)dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
  2. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx;k∈R

  • Rozbor

    Při ověřování platnosti daných vztahů vycházíme z definice primitivní funkce, neurčitého integrálu a již známých derivací z úlohy: Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné

    Primitivní funkce:

    Nechť f(x), F(x) reálné funkce reálné proměné, řekneme, že F(x) je primitivní funkce k f(x), jestliže platí: F′(x)=f(x)

    operací, jíž hledáme primitivní funkci, je operace opačná k derivování a zveme ji integrování, neboť funkce F(x) je určena až na konstantu c, neurčitý integrál zapisujeme takto:

    ∫f(x)dx=F(x)+c;c∈R

    Platnost uvedených vztahů nyní můžeme ověřit výpočtem.

    F′(x)=f(x)+c;c∈R
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze