Limita rekurentně zadané posloupnosti VI
Úloha číslo: 880
Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy
\[x_1 = 1, \qquad x_{n+1} = \frac{1}{1+x_n}\]a pokud existuje, určete ji!
Řešení
Zřejmě platí, že
\[x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{2}, \quad x_3 = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}, \quad x_4 = \frac{3}{5},\] \[ x_5 = \frac{5}{8}, \quad x_6 = \frac{8}{13}, \quad x_7 = \frac{13}{21}, \quad x_8 = \frac{21}{34}.\]Počítáním rozdílů ob dva členy se dá usoudit, že podposloupnost sudých členů {x2n}} je ostře rostoucí a podposloupnost lichých členů x2n+1 je ostře klesající. Zkusíme to dokázat.
Pro n sudé či liché máme
\[a_{n+2}-a_n = \frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}-x = \frac{1+x}{2+x}-x = \frac{1-x-x^2}{2+x} =\] \[ = \frac{-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}}{2+x} = \frac{\frac{-(2x+1)^2+5}{4}}{2+x} \geq 0\]přičemž poslední nerovnost je zřejmě pravdivá pro všechna
\[0 \leq x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]Opačná nerovnost je pak pochopitelně platná pro
\[x\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]Stačí tedy matematickou indukcí dokázat, že pokud
\[x_{2n} \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2},\]pak tomu tak je i pro x2n+2, a analogické tvrzení pro podposloupnost lichých členů.
Pro n = 1 tvrzení platí. Platí-li pak pro n, pro n + 1 dostaneme
\[x_{2n+2} = \frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{2n}}} = \frac{1+x_{2n}}{2+x_{2n}} = 1-\frac{1}{2+x_{2n}} \leq \] \[ \leq 1-\frac{1}{2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = 1-\frac{2}{3+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]Tím je tvrzení indukcí dokázáno.
Tvrzení pro liché členy se dokáže zcela analogicky:
\[x_1 = 1 \geq \frac{\sqrt{5}-1}{2},\]pro n = 1 tedy tvrzení platí.
Předpokládejme, že platí pro n a dokazujme pro n + 1.
\[x_{2n+3} = \ldots = 1-\frac{1}{2+x_{2n+1}} \geq \] \[ \geq 1-\frac{1}{2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = 1-\frac{2}{3+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]Podposloupnost {x2n} je tedy shora omezená a rostoucí, naopak podposloupnost {x2n+1} je zdola omezená a klesající. Obě jsou tedy konvergentní.
Označme jejich limity L1, L2. Spočtěme je.
Protože platí, že
\[x_{2n} = \frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{2n-2}}} = \frac{1+x_{2n-2}}{2+x_{2n-2}},\]dává věta o aritmetice limit, že
\[L_1 = \frac{1+L_1}{2+L_1} \implies 2L_1+L_1^2 = 1+L_1 \implies \] \[ \implies L_1^2+L_1-1 = 0 \implies L_1 = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2},\]a protože posloupnost je nezáporná, vyhovuje pouze kořen
\[L_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]Na chlup stejný výpočet lze použít i pro posloupnost lichých členů, protože pro ni platí týž rekurentní vzorec. Protože jsou si tyto limity rovny, nedá moc práce z definice limity dokázat, že konverguje i celá posloupnost, a to ke stejné limitě.
