Separace (rychlost chemické reakce)

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Separace (rychlost chemické reakce)

Úloha číslo: 1849

Určete rychlost chemické reakce látek A, B, víte-li, že je přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Předpokládejte dále, že během vytváření nového produktu se vždy kombinuje jedna molekula látky A s jednou molekulou látky B, a že jsou počáteční koncentrace obou látek navzájem různé.

Motivace aneb úvodní slovo k rovnici se separovanými proměnnými
Rovnice typu $y'=f(x)g(y)$ a separace proměnných

Výraz $f(x)g(y)$ v sobě skrývá skutečnost, že jsme schopni pravou stranu rovnice rozložit na součin funkce $f(x)$, závislé pouze na proměnné $x$ s funkcí $g(y)$, závislé na $y$.

Například $x^2-x^2\cos {y}$ snadno přepíšeme na $x^2(1-\cos {y})$, pak $f(x)=x^2$ a $g(y)= 1-\cos {y}$. Naproti tomu ve výrazu $x^{y-3x}-y$ bychom rozklad na součin $f(x)g(y)$ hledali jen velmi těžko.

Vraťme se ale zpět k rovnici $y'=f(x)g(y)$. Dělením $g(y)$ ji rozdělíme na stranu proměnné $x$ a na stranu proměnné $y$.
\[\frac{y'}{g(y)}=f(x)\,,\]
což lze udělat, jestliže $g(y)\ne 0$. (V případě, kdy $g(y)=0$ patrně řešíme rovnici $y'(x)=0$, jejímž řešením je konstantní funkce vyhovující podmínce $g(y)=0$.)

Lze-li dále rovnici integrovat, získáme
\[\int \frac{\mathrm{d} y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d} x \,,\]
a tedy
\[G\bigl(y(x)\bigr) = F(x)+C\,.\]
Přičemž $G(y)$ rozumíme primitivní funkci k $\frac{1}{g(y)}$, $F(x)$ primitivní funkci k $f(x)$ a $C$ integrační konstantou.

Hledanou funkci $ y(x) $ konečně vyjádříme pomocí inverzní funkce
\[y(x)= G^{-1}\bigl(F(x)+C\bigr) \,.\]
Užité lze-li rovnici integrovat však vyžaduje hlubší zdůvodnění, než pouhé připsání neurčitých integrálů. Uvědomme si, že $y$ je funkce proměnné $x$, nebo-li $y=y(x)$. Řešená rovnice $\frac{y'}{g(y)}=f(x)$ tak má ve skutečnosti podobu
\[\frac{y'(x)}{g\bigl(y(x)\bigr)}= f(x) \,.\]
Jestliže se ale levá strana rovná pravé a pravou lze integrovat, můžeme dle proměnné $x$ integrovat i stranu levou, nebo-li
\[\int\frac{y'(x)}{g\bigl(y(x)\bigr)}\mathrm{d} x =\int f(x)\mathrm{d} x\,.\]
Využijeme-li substituci $y=y(x)$, kde $ \mathrm{d} y=y'(x)\mathrm{d} x $, celkově získáme
\[\int\frac{\mathrm{d} y}{g(y)} =\int f(x)\mathrm{d} x\,.\]
Úvodní zamyšlení a užité značení
Označme nejprve $a(t)$ koncentraci látky A a $b(t)$ koncentraci látky B v čase $t$. Aby reakce vůbec mohla započít, a tedy úloha měla smysl, musely být v čase $t=0$ nutně počáteční koncentrace $a_0$, $b_0 >0$.
Sestavení diferenciální rovnice
Za využití předpokladu, že se spolu molekuly zúčastněných látek kombinují po jedné, dojděte skrze úbytek koncentrací ke kýžené diferenciální rovnici.
Sestavení diferenciální rovnice
Jelikož se spolu molekuly kombinují po jedné, klesají koncentrace obou látek téže rychlostí. Nebo-li
\[\dot{a}=\dot{b} \,.\]
Označíme-li dále $k(t)$ úbytek koncentrace $a(t)$, respektive $b(t)$, v čase $t$, bude úbytek popsán rovnicemi
\[\begin{align*} k(t)& =a_0-a(t) \\ k(t)& =b_0-b(t) \,. \end{align*}\]
Z nichž vyvodíme rovnice
\[\begin{align} a(t)&=a_0-k(t) \\ b(t)&=b_0-k(t) \,. \end{align}\]
Kombinací derivací červených rovnic podle času $ t $ následně dojdeme k rovnici
\[\dot{k}=-\dot{a}=-\dot{b}\,.\]
Rychlost chemické reakce v čase $t$ tedy popisuje $\dot{k}(t)$. Ze zadání víme, že je tato rychlost přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Nebo-li
\[\dot{k}=ca(t)b(t);\, c>0 \,,\]
kde konstantu úměrnosti $c$ je možno určit experimentálně.

Po dosazení červených rovnic konečně získáme diferenciální rovnici se separovanými proměnnými
\[\dot{k}=c(a_0-k)(b_0-k) \,.\]
Integrace
Lze-li, pak pomocí integrace určete hledané řešení získané diferenciální rovnice.
Integrace
Pro $k\ne a_0$, $k\ne b_0$ rovnici upravíme na
\[\frac{\dot{k}}{(a_0-k)(b_0-k)}=c\]
a integrujeme
\[\int\frac{\mathrm{d} k}{(a_0-k)(b_0-k)}=\int c \mathrm{d} t \,.\]
Racionální funkci na levé straně nejprve pro $a_0\ne b_0$ (viz zadání úlohy) upravíme pomocí rozkladu na parciální zlomky
\[\int\left(\frac{1}{b_0-a_0}\frac{1}{a_0-k}-\frac{1}{b_0-a_0}\frac{1}{b_0-k}\right)\mathrm{d} k=\int c \mathrm{d} t \,.\]
Následně určíme příslušné primitivní funkce jako
\[\begin{align*} \frac{1}{a_0-b_0}\bigl(\ln|a_0-k|-\ln|b_0-k|\bigr)&=ct+K;\, K\in \mathbb{R} \\ \frac{1}{a_0-b_0}\ln\frac{|a_0-k|}{|b_0-k|}&=ct+K \,. \end{align*}\]
Vzhledem ke skutečnosti, že výrazy $a_0-k$, $b_0-k$ představují nezáporné koncentrace látek A, B v čase $t$ a námi stanovené dvojici podmínek $k\ne a_0, b_0$, můžeme odstranit obě absolutní hodnoty. Vynásobíme-li dále rovnici výrazem $a_0-b_0$, získáme celkově
\[\ln\frac{a_0-k}{b_0-k}=(a_0-b_0)(ct+K) \,.\]
Po následném odlogaritmování pak
\[\frac{a_0-k}{b_0-k}=\mathrm{e}^{K(a_0-b_0)}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}\,. \qquad(*)\]
Než vyjádříme hledanou funkci $\dot{k}(t)$, nejprve pro zjednodušení určíme konstantu $K$ z počáteční podmínky $k(0)=0$ (v čase $t=0$ byl úbytek koncentrace nulový, reakce totiž ještě neprobíhala). Po položení $t=0$ obdržíme
\[\frac{a_0-0}{b_0-0}=\mathrm{e}^{K(a_0-b_0)}\mathrm{e}^{0}\Rightarrow K=\frac{1}{a_0-b_0}\ln{\frac{a_0}{b_0}}\,.\]
Rovnici (*) dále s využitím vztahu pro $K$ přepíšeme jako
\[\frac{a_0-k}{b_0-k}=\frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}\,.\]
Ze získané rovnice následně vydobudeme předpis pro funkci $k(t)$. Konkrétně
\[\begin{align*} a_0-k &=\frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}(b_0-k) \\ \frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}k-k&=a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-a_0 \\ k(t)&=a_0b_0\frac {\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-1}{a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0}\,. \end{align*}\]
Hledanou funkci, popisující rychlost probíhající chemické reakce, konečně určíme jako derivaci získané funkce $ k(t)$ dle času $ t $. Za využití věty o derivaci podílu tak obdržíme
\[\dot{k}(t)=a_0b_0\frac{c(a_0-b_0)\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)^2}+\] \[-\frac{(\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-1)a_0c(a_0-b_0)\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)^2} = ca_0b_0(a_0-b_0)^2\frac{\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b)^2}\,.\]
Řešení
Označme nejprve $a(t)$ koncentraci látky A a $b(t)$ koncentraci látky B v čase $t$. Aby reakce vůbec mohla započít, a tedy úloha měla smysl, musely být v čase $t=0$ nutně počáteční koncentrace $a_0$, $b_0 >0$.

Jelikož se spolu molekuly kombinují po jedné, klesají koncentrace obou látek téže rychlostí. Nebo-li
\[\dot{a}=\dot{b} \,.\]
Označíme-li dále $k(t)$ úbytek koncentrace $a(t)$, respektive $b(t)$, v čase $t$, bude úbytek popsán rovnicemi
\[\begin{align*} k(t)& =a_0-a(t) \\ k(t)& =b_0-b(t) \,. \end{align*}\]
Z nichž vyvodíme rovnice
\[\begin{align} a(t)&=a_0-k(t) \\ b(t)&=b_0-k(t) \,. \end{align}\]
Kombinací derivací červených rovnic podle času $ t $ následně dojdeme k rovnici
\[\dot{k}=-\dot{a}=-\dot{b}\,.\]
Rychlost chemické reakce v čase $t$ tedy popisuje $\dot{k}(t)$. Ze zadání víme, že je tato rychlost přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Nebo-li
\[\dot{k}=ca(t)b(t);\, c>0 \,,\]
kde konstantu úměrnosti $c$ je možno určit experimentálně.

Po dosazení červených rovnic konečně získáme diferenciální rovnici se separovanými proměnnými
\[\dot{k}=c(a_0-k)(b_0-k) \,.\]
Pro $k\ne a_0$, $k\ne b_0$ rovnici upravíme na
\[\frac{\dot{k}}{(a_0-k)(b_0-k)}=c\]
a integrujeme
\[\int\frac{\mathrm{d} k}{(a_0-k)(b_0-k)}=\int c \mathrm{d} t \,.\]
Racionální funkci na levé straně nejprve pro $a_0\ne b_0$ (viz zadání úlohy) upravíme pomocí rozkladu na parciální zlomky
\[\int\left(\frac{1}{b_0-a_0}\frac{1}{a_0-k}-\frac{1}{b_0-a_0}\frac{1}{b_0-k}\right)\mathrm{d} k=\int c \mathrm{d} t \,.\]
Následně určíme příslušné primitivní funkce jako
\[\begin{align*} \frac{1}{a_0-b_0}\bigl(\ln|a_0-k|-\ln|b_0-k|\bigr)&=ct+K;\, K\in \mathbb{R} \\ \frac{1}{a_0-b_0}\ln\frac{|a_0-k|}{|b_0-k|}&=ct+K \,. \end{align*}\]
Vzhledem ke skutečnosti, že výrazy $a_0-k$, $b_0-k$ představují nezáporné koncentrace látek A, B v čase $t$ a námi stanovené dvojici podmínek $k\ne a_0, b_0$, můžeme odstranit obě absolutní hodnoty. Vynásobíme-li dále rovnici výrazem $a_0-b_0$, získáme celkově
\[\ln\frac{a_0-k}{b_0-k}=(a_0-b_0)(ct+K) \,.\]
Po následném odlogaritmování pak
\[\frac{a_0-k}{b_0-k}=\mathrm{e}^{K(a_0-b_0)}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}\,. \qquad(*)\]
Než vyjádříme hledanou funkci $\dot{k}(t)$, nejprve pro zjednodušení určíme konstantu $K$ z počáteční podmínky $k(0)=0$ (v čase $t=0$ byl úbytek koncentrace nulový, reakce totiž ještě neprobíhala). Po položení $t=0$ obdržíme
\[\frac{a_0-0}{b_0-0}=\mathrm{e}^{K(a_0-b_0)}\mathrm{e}^{0}\Rightarrow K=\frac{1}{a_0-b_0}\ln{\frac{a_0}{b_0}}\,.\]
Rovnici (*) dále s využitím vztahu pro $K$ přepíšeme jako
\[\frac{a_0-k}{b_0-k}=\frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}\,.\]
Ze získané rovnice následně vydobudeme předpis pro funkci $k(t)$. Konkrétně
\[\begin{align*} a_0-k &=\frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}(b_0-k) \\ \frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}k-k&=a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-a_0 \\ k(t)&=a_0b_0\frac {\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-1}{a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0}\,. \end{align*}\]
Hledanou funkci, popisující rychlost probíhající chemické reakce, konečně určíme jako derivaci získané funkce $ k(t)$ dle času $ t $. Za využití věty o derivaci podílu tak obdržíme
\[\dot{k}(t)=a_0b_0\frac{c(a_0-b_0)\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)^2}+\] \[-\frac{(\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-1)a_0c(a_0-b_0)\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)^2} = ca_0b_0(a_0-b_0)^2\frac{\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b)^2}\,.\]

Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad

Separace (rychlost chemické reakce)

Úloha číslo: 1849

Motivace aneb úvodní slovo k rovnici se separovanými proměnnými

Úvodní zamyšlení a užité značení

Sestavení diferenciální rovnice

Sestavení diferenciální rovnice

Integrace

Integrace

Řešení