Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Separace (rychlost chemické reakce)

Úloha číslo: 1849

Určete rychlost chemické reakce látek A, B, víte-li, že je přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Předpokládejte dále, že během vytváření nového produktu se vždy kombinuje jedna molekula látky A s jednou molekulou látky B, a že jsou počáteční koncentrace obou látek navzájem různé.

  • Motivace aneb úvodní slovo k rovnici se separovanými proměnnými

    Rovnice typu \(y'=f(x)g(y)\) a separace proměnných

    Výraz \(f(x)g(y)\) v sobě skrývá skutečnost, že jsme schopni pravou stranu rovnice rozložit na součin funkce \(f(x)\), závislé pouze na proměnné \(x\) s funkcí \(g(y)\), závislé na \(y\).

    Například \(x^2-x^2\cos {y}\) snadno přepíšeme na \(x^2(1-\cos {y})\), pak \(f(x)=x^2\) a \(g(y)= 1-\cos {y}\). Naproti tomu ve výrazu \(x^{y-3x}-y\) bychom rozklad na součin \(f(x)g(y)\) hledali jen velmi těžko.

    Vraťme se ale zpět k rovnici \(y'=f(x)g(y)\). Dělením \(g(y)\) ji rozdělíme na stranu proměnné \(x\) a na stranu proměnné \(y\).

    \[\frac{y'}{g(y)}=f(x)\,,\]

    což lze udělat, jestliže \(g(y)\ne 0\). (V případě, kdy \(g(y)=0\) patrně řešíme rovnici \(y'(x)=0\), jejímž řešením je konstantní funkce vyhovující podmínce \(g(y)=0\).)

    Lze-li dále rovnici integrovat, získáme

    \[\int \frac{\mathrm{d} y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d} x \,,\]

    a tedy

    \[G\bigl(y(x)\bigr) = F(x)+C\,.\]

    Přičemž \(G(y)\) rozumíme primitivní funkci k \(\frac{1}{g(y)}\), \(F(x)\) primitivní funkci k \(f(x)\) a \(C\) integrační konstantou.

    Hledanou funkci $ y(x) $ konečně vyjádříme pomocí inverzní funkce

    \[y(x)= G^{-1}\bigl(F(x)+C\bigr) \,.\]

    Užité lze-li rovnici integrovat však vyžaduje hlubší zdůvodnění, než pouhé připsání neurčitých integrálů. Uvědomme si, že \(y\) je funkce proměnné \(x\), nebo-li \(y=y(x)\). Řešená rovnice \(\frac{y'}{g(y)}=f(x)\) tak má ve skutečnosti podobu

    \[\frac{y'(x)}{g\bigl(y(x)\bigr)}= f(x) \,.\]

    Jestliže se ale levá strana rovná pravé a pravou lze integrovat, můžeme dle proměnné \(x\) integrovat i stranu levou, nebo-li

    \[\int\frac{y'(x)}{g\bigl(y(x)\bigr)}\mathrm{d} x =\int f(x)\mathrm{d} x\,.\]

    Využijeme-li substituci \(y=y(x)\), kde \( \mathrm{d} y=y'(x)\mathrm{d} x \), celkově získáme

    \[\int\frac{\mathrm{d} y}{g(y)} =\int f(x)\mathrm{d} x\,.\]
  • Úvodní zamyšlení a užité značení

    Označme nejprve \(a(t)\) koncentraci látky A a \(b(t)\) koncentraci látky B v čase \(t\). Aby reakce vůbec mohla započít, a tedy úloha měla smysl, musely být v čase \(t=0\) nutně počáteční koncentrace \(a_0\), \(b_0 >0\).

  • Sestavení diferenciální rovnice

    Za využití předpokladu, že se spolu molekuly zúčastněných látek kombinují po jedné, dojděte skrze úbytek koncentrací ke kýžené diferenciální rovnici.

  • Integrace

    Lze-li, pak pomocí integrace určete hledané řešení získané diferenciální rovnice.

  • Řešení

    Označme nejprve \(a(t)\) koncentraci látky A a \(b(t)\) koncentraci látky B v čase \(t\). Aby reakce vůbec mohla započít, a tedy úloha měla smysl, musely být v čase \(t=0\) nutně počáteční koncentrace \(a_0\), \(b_0 >0\).

    Jelikož se spolu molekuly kombinují po jedné, klesají koncentrace obou látek téže rychlostí. Nebo-li

    \[\dot{a}=\dot{b} \,.\]

    Označíme-li dále \(k(t)\) úbytek koncentrace \(a(t)\), respektive \(b(t)\), v čase \(t\), bude úbytek popsán rovnicemi

    \[\begin{align*} k(t)& =a_0-a(t) \\ k(t)& =b_0-b(t) \,. \end{align*}\]

    Z nichž vyvodíme rovnice

    \[\begin{align} a(t)&=a_0-k(t) \\ b(t)&=b_0-k(t) \,. \end{align}\]

    Kombinací derivací červených rovnic podle času \( t \) následně dojdeme k rovnici

    \[\dot{k}=-\dot{a}=-\dot{b}\,.\]

    Rychlost chemické reakce v čase \(t\) tedy popisuje \(\dot{k}(t)\). Ze zadání víme, že je tato rychlost přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Nebo-li

    \[\dot{k}=ca(t)b(t);\, c>0 \,,\]

    kde konstantu úměrnosti \(c\) je možno určit experimentálně.

    Po dosazení červených rovnic konečně získáme diferenciální rovnici se separovanými proměnnými

    \[\dot{k}=c(a_0-k)(b_0-k) \,.\]

    Pro \(k\ne a_0\), \(k\ne b_0\) rovnici upravíme na

    \[\frac{\dot{k}}{(a_0-k)(b_0-k)}=c\]

    a integrujeme

    \[\int\frac{\mathrm{d} k}{(a_0-k)(b_0-k)}=\int c \mathrm{d} t \,.\]

    Racionální funkci na levé straně nejprve pro \(a_0\ne b_0\) (viz zadání úlohy) upravíme pomocí rozkladu na parciální zlomky

    \[\int\left(\frac{1}{b_0-a_0}\frac{1}{a_0-k}-\frac{1}{b_0-a_0}\frac{1}{b_0-k}\right)\mathrm{d} k=\int c \mathrm{d} t \,.\]

    Následně určíme příslušné primitivní funkce jako

    \[\begin{align*} \frac{1}{a_0-b_0}\bigl(\ln|a_0-k|-\ln|b_0-k|\bigr)&=ct+K;\, K\in \mathbb{R} \\ \frac{1}{a_0-b_0}\ln\frac{|a_0-k|}{|b_0-k|}&=ct+K \,. \end{align*}\]

    Vzhledem ke skutečnosti, že výrazy \(a_0-k\), \(b_0-k\) představují nezáporné koncentrace látek A, B v čase \(t\) a námi stanovené dvojici podmínek \(k\ne a_0, b_0\), můžeme odstranit obě absolutní hodnoty. Vynásobíme-li dále rovnici výrazem \(a_0-b_0\), získáme celkově

    \[\ln\frac{a_0-k}{b_0-k}=(a_0-b_0)(ct+K) \,.\]

    Po následném odlogaritmování pak

    \[\frac{a_0-k}{b_0-k}=\mathrm{e}^{K(a_0-b_0)}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}\,. \qquad(*)\]

    Než vyjádříme hledanou funkci \(\dot{k}(t)\), nejprve pro zjednodušení určíme konstantu \(K\) z počáteční podmínky \(k(0)=0\) (v čase \(t=0\) byl úbytek koncentrace nulový, reakce totiž ještě neprobíhala). Po položení \(t=0\) obdržíme

    \[\frac{a_0-0}{b_0-0}=\mathrm{e}^{K(a_0-b_0)}\mathrm{e}^{0}\Rightarrow K=\frac{1}{a_0-b_0}\ln{\frac{a_0}{b_0}}\,.\]

    Rovnici (*) dále s využitím vztahu pro \(K\) přepíšeme jako

    \[\frac{a_0-k}{b_0-k}=\frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}\,.\]

    Ze získané rovnice následně vydobudeme předpis pro funkci \(k(t)\). Konkrétně

    \[\begin{align*} a_0-k &=\frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}(b_0-k) \\ \frac{a_0}{b_0}\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}k-k&=a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-a_0 \\ k(t)&=a_0b_0\frac {\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-1}{a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0}\,. \end{align*}\]

    Hledanou funkci, popisující rychlost probíhající chemické reakce, konečně určíme jako derivaci získané funkce $ k(t)$ dle času $ t $. Za využití věty o derivaci podílu tak obdržíme

    \[\dot{k}(t)=a_0b_0\frac{c(a_0-b_0)\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)^2}+\] \[-\frac{(\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-1)a_0c(a_0-b_0)\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b_0)^2} = ca_0b_0(a_0-b_0)^2\frac{\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}}{(a_0\mathrm{e}^{c(a_0-b_0)t}-b)^2}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze