Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I
Úloha číslo: 847
Dokažte, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1\]pro libovolné kladné reálné číslo a.
Řešení
1. Pro a = 1 je tvrzení zřejmé.
2. Předpokládejme nyní, že a > 1.
Zřejmě pak platí, že
\[\sqrt[n]{a} \geq \sqrt[n]{1} = 1.\]Naopak pokud rozšíříme podle identity
\[(A^n-B^n) = (A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots+AB^{n-2}+B^{n-1}),\]dostaneme, že
\[\sqrt[n]{a} - 1 = \frac{\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{1}}{1}\cdot \frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1} =\] \[ = \frac{a-1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1},\]a každý sčítanec ve jmenovateli na pravé straně můžeme zespodu odhadnout jednotkou, tedy
\[\sqrt[n]{a} - 1 = \frac{a-1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1} \leq \frac{a-1}{n},\]nebo sčítanců je ve jmenovateli druhého a třetího zlomku celkem n. Odtud samozřejmě vyplývá, že
\[\sqrt[n]{a} \leq 1 + \frac{a-1}{n}\]Odvodili jsme tedy odhady
\[1 + \frac{a-1}{n} \geq \sqrt[n]{a} \geq 1,\]přičemž limity levé a pravé strany jsou
\[\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a-1}{n}\right) = 1+0 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty} 1 = 1.\]Podle věty o dvou policajtech (viz úloha Věta o dvou policajtech) tudíž máme
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1.\]3. Konečně je-li 0 < a < 1, pak platí:
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\frac{1}{a}}} =\] \[ = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} 1}{\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = \frac{1}{1} = 1.\]První dvě rovnosti jsou algebraické úpravy, třetí pak vyplývá z věty o limitě podílu a čtvrtá z předchozího výpočtu, neboť 1/a > 1.
