Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I

Úloha číslo: 847

Dokažte, že

\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1\]

pro libovolné kladné reálné číslo a.

  • Řešení

    1. Pro a = 1 je tvrzení zřejmé.

    2. Předpokládejme nyní, že a > 1.

    Zřejmě pak platí, že

    \[\sqrt[n]{a} \geq \sqrt[n]{1} = 1.\]

    Naopak pokud rozšíříme podle identity

    \[(A^n-B^n) = (A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots+AB^{n-2}+B^{n-1}),\]

    dostaneme, že

    \[\sqrt[n]{a} - 1 = \frac{\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{1}}{1}\cdot \frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1} =\] \[ = \frac{a-1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1},\]

    a každý sčítanec ve jmenovateli na pravé straně můžeme zespodu odhadnout jednotkou, tedy

    \[\sqrt[n]{a} - 1 = \frac{a-1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1} \leq \frac{a-1}{n},\]

    nebo sčítanců je ve jmenovateli druhého a třetího zlomku celkem n. Odtud samozřejmě vyplývá, že

    \[\sqrt[n]{a} \leq 1 + \frac{a-1}{n}\]

    Odvodili jsme tedy odhady

    \[1 + \frac{a-1}{n} \geq \sqrt[n]{a} \geq 1,\]

    přičemž limity levé a pravé strany jsou

    \[\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a-1}{n}\right) = 1+0 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty} 1 = 1.\]

    Podle věty o dvou policajtech (viz úloha Věta o dvou policajtech) tudíž máme

    \[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1.\]

    3. Konečně je-li 0 < a < 1, pak platí:

    \[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\frac{1}{a}}} =\] \[ = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} 1}{\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = \frac{1}{1} = 1.\]

    První dvě rovnosti jsou algebraické úpravy, třetí pak vyplývá z věty o limitě podílu a čtvrtá z předchozího výpočtu, neboť 1/a > 1.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze