Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita geometrické posloupnosti III
Úloha číslo: 843
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{9^n - 3^{2n-1}}{4^{2n+2} - 9^{n+10}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{9^n - 3^{2n-1}}{4^{2n+2} - 9^{n+10}}.\]Algebraickými úpravami dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{9^n - 3^{2n-1}}{4^{2n+2} - 9^{n+10}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{9^n - 3^{2n}\cdot 3^{-1}}{4^{2n}\cdot 4^2 - 9^{n}\cdot 9^{10}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{9^n - (3^{2})^{n}\cdot \frac{1}{3}}{(4^{2})^{n}\cdot 16 - 9^{n}\cdot 9^{10}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{9^n - \frac{1}{3}\cdot 9^{n}}{16{\cdot} 16^{n} - 9^{10}\cdot 9^{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\frac{2}{3}\cdot 9^{n}}{16{\cdot} 16^{n} - 9^{10}\cdot 9^{n}} = \]a vytknutím nejvyšší mocniny s nejvyšším základem ve jmenovateli pak s pomocí věty o aritmetice limit
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{3}\cdot \frac{9^{n}}{16^{n}\cdot (16 - 9^{10}\cdot (\frac{9}{16})^{n})} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{3}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{9^{n}}{16^{n}} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{(16 - 9^{10}\cdot (\frac{9}{16})^{n})} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{3}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{9}{16}\right)^n \cdot \frac{1}{(16 - 9^{10}\cdot \lim_{\small n\to\infty} (\frac{9}{16})^{n})} = \]a s pomocí částí (c) úlohy Limita geometrické posloupnosti
\[ = \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot\frac{1}{16-9^{10}\cdot 0} = 0.\]
