Sbírka řešených úloh

Limita podílu logaritmů

Úloha číslo: 1213

• Nápověda 1

  Počítáme limitu podílu dvou přirozených logaritmů v nevlastním bodě. Jejich argumenty jsou součty dalších funkcí.

  Z těchto součtů v obou logaritmech vytkněte „rychleji rostoucí“ člen a upravte dle vzorce:

  \[ \ln \left(\alpha\cdot\beta\right) = \ln\alpha + \ln\beta\mathrm{.}\]

• Řešení nápovědy 1

  V obou argumentech logaritmů vytkneme „nejrychleji rostoucí“ člen: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left(2 + e^{3x}\right)}{\ln \left(3 + e^{2x}\right)}= \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left[ e^{3x}\left(\frac{2}{e^{3x}} + 1\right)\right]}{\ln \left[ e^{2x}\left(\frac{3}{e^{2x}} + 1\right)\right]} \mathrm{.} \]

  Přepíšeme logaritmus součinu na součet logaritmů:

  \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left[ e^{3x}\left(\frac{2}{e^{3x}} + 1\right)\right]}{\ln \left[ e^{2x}\left(\frac{3}{e^{2x}} + 1\right)\right]} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln e^{3x} + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{\ln e^{2x} + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)} \mathrm{.} \]

• Nápověda 2

  Připomeňme, že pro logaritmy platí: \[ \ln \alpha^\beta = \beta\ln\alpha\mathrm{,} \] \[ \ln e = 1\mathrm{.} \] S pomocí těchto znalostí upravte první logaritmy v čitateli i jmenovateli.

• Řešení nápovědy 2

  Použitím základních vztahů pro logaritmy získáme: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln e^{3x} + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{\ln e^{2x} + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3x + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{2x + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)} \mathrm{.} \]

• Nápověda 3

  Nyní postupujeme podobně jako v obvyklých případech limit racionální funkce.

  Vytkněte a vykraťte z čitatele a jmenovatele x. Dále použijte větu o aritmetice limit a využijte spojitosti \(\ln\alpha\).

• Řešení nápovědy 3

  Vytkneme z čitatele a jmenovatele x a vykrátíme jej. Dále použijeme větu o aritmetice limit a využijeme spojitosti logaritmu:

  \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{2x + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)}= \lim_{x\to+\infty} \frac{3 + \frac{\ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{x}}{2 + \frac{\ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)}{x}} = \frac{3+0}{2+0} = \frac{3}{2} \mathrm{.} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  V obou argumentech logaritmů vytkneme „nejrychleji rostoucí“ člen: \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left(2 + e^{3x}\right)}{\ln \left(3 + e^{2x}\right)}= \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left[ e^{3x}\left(\frac{2}{e^{3x}} + 1\right)\right]}{\ln \left[ e^{2x}\left(\frac{3}{e^{2x}} + 1\right)\right]} \mathrm{.} \]

  Přepíšeme logaritmus součinu na součet logaritmů:

  \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left[ e^{3x}\left(\frac{2}{e^{3x}} + 1\right)\right]}{\ln \left[ e^{2x}\left(\frac{3}{e^{2x}} + 1\right)\right]} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln e^{3x} + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{\ln e^{2x} + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)} \mathrm{.} \]

  Použitím základních vztahů pro logaritmy získáme:

  \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln e^{3x} + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{\ln e^{2x} + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3x + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{2x + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)} \mathrm{.} \]

  Vytkneme z čitatele a jmenovatele x a vykrátíme jej. Dále použijeme větu o aritmetice limit a využijeme spojitosti logaritmu:

  \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x + \ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{2x + \ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)}= \lim_{x\to +\infty} \frac{3 + \frac{\ln\left(\frac{2}{e^{3x}}+1\right)}{x}}{2 + \frac{\ln\left(\frac{3}{e^{2x}}+1\right)}{x}} = \frac{3+0}{2+0} = \frac{3}{2} \mathrm{.} \]

• Výsledek

  \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln \left(2 + e^{3x}\right)}{\ln \left(3 + e^{2x}\right)} = \frac{3}{2}\mathrm{.} \]