Sbírka řešených úloh

Urči primitivní funkci metodou per partes II.

Úloha číslo: 1269

• Rozbor

  Máme-li určit neurčitý integrál ze součinu dvou funkcí, z nichž jedna se dobře derivuje a druhá naopak dobře integruje, pak většinou řešení takovéto úlohy směřuje právě na metodu řešení per partes, viz úloha Per partes

  U podobných úloh je dobré, pečlivě si rozmyslet, kterou funkci je výhodné derivovat a kterou naopak integrovat, čímž se vyhneme zbytečnému stěžování zadaného problému, neboť per partes má vest k zjednodušení řešeného integrálu.

• Nápověda

  Pomocí známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí a známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné určete metodou per partes Per partes zadaný neurčitý integrál.

• Řešení

  Jak bylo řečeno, pak při řešení neurčitého integrálu \(\int{\sin{x}\cos{x}}dx\) metodou per partes, je třeba zvolit jednu funkci, již budeme derivovat a druhou, kterou budeme naopak integrovat.

  Nejprve zopakujme metodu per partes:

  \[\int{f^{'}{x}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  Zvolme tedy \(\ln{x}\) jako g(x), kterou budeme derivovat, jelikož známe derivaci této funkce avšak primitivní funkci nikoliv a \(x^n\) jako funkci \(f^{'}(x)\), již budeme integrovat.

  Pomocí Přehled základních primitivních funkcí určíme primitivní funkci k \(f^{'}(x)\) jako:

  \[f(x)=\int{x^n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\]

  dále určíme derivaci funkce g(x) pomocí Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné jako:

  \[g^{'}(x)=\ln^{'}{x}=\frac{1}{x}\]

  a následně dosadíme do rovnosti, známé z per partes:

  \[\int{\ln{x}\cdot x^n}dx=\ln{x}\frac{x^{n+1}}{n+1}-\int{\frac{1}{x}\frac{x^{n+1}}{n+1}}dx =\]

  a opět pomocí Přehled základních primitivních funkcí určíme hledanou primitivní funkci na pravé straně rovnosti jako:

  \[=\ln{x}\frac{x^{n+1}}{n+1}-\int{\frac{x^{n}}{n+1}}dx=\ln{x}\frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+c\]