Pojem výroku
Úloha číslo: 1678
V níže uvedených případech rozhodněte, zda jde o výroky a, kromě úloh označených *, též o jejich pravdivosti.
Číslo \(8\) patří do oborů čísel přirozených, celých, racionálních i reálných.
\(2\frac{18}{11} - 3 \lt \frac{7}{12}\)
\(x+7=3\)
Každá neprázdná podmnožina přirozených čísel má nejmenší prvek.
Každá neprázdná podmnožina přirozených čísel má největší prvek.
Které podmnožiny přirozených čísel mají největší i nejmenší prvek?
Jsou-li \(a\) a \(b\) dvě reálná čísla, potom \(a < b\).
* Pro každé racionální číslo \(q\) platí buď \(q^2<2\) nebo \(q^2>2\).
* Pro všechna přirozená čísla \(p\) je číslo \(2^{2^p}+1\) prvočíslo.
* Každé sudé přirozené číslo větší než \(2\) je součtem dvou prvočísel.
Pojem výroku
Výrokem rozumíme tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé.
Za výrok tedy nepovažujeme obecně věty tázací, přací a rozkazovací.
Poznámka: Jiné druhy vět nemusí být nutně automaticky výrokem, například věta „ahoj“ nenese sdělení, jehož pravidvost má smysl posuzovat. Takové případy však pro nás nebudou důležité.
V matematice tvrzení často zapisujeme symbolicky. Například
\[7<9 \]je tvrzením, které je zároveň pravdivým výrokem, jenž můžeme číst například
„číslo sedm je menší než číslo devět“.
Řešení
Jde o pravdivý výrok.
Protože
\[2\frac{18}{11}-3 = \frac{2{\cdot} 11+18-3{\cdot} 11}{11} = \frac{7}{11} > \frac{7}{12},\]jde o nepravdivý výrok.
Nejde o výrok, protože nevíme, co v zápisu značí písmeno \(x\). Pokud to nevíme, nemá smysl se ptát, zda je rovnost pravdivá či nepravdivá.
Tvrzení je pravdivým výrokem. Množina \(M\) je neprázdná, obsahuje tedy nejméně jedno (přirozené) číslo.
Vyberme tedy náhodně jedno z těchto čísel, označme jej \(m_1\). Jestliže toto náhodně vybrané číslo není nejmenší v \(M\), pak to znamená, že v \(M\) nalezneme číslo \(m_2 < m_1\).
Jestliže ani číslo \(m_2\) není nejmenší v \(M\), pak to znamená, že v \(M\) nalezneme číslo \(m_3 < m_2\).
A takto můžeme pokračovat dále. Uvědomme si však, že tato posloupnost kroků se nejpozději po \(m_1\) krocích zastaví. V každém kroku totiž najdeme číslo nejméně o jednotku menší. Po více než \(m_1-1\) krocích by tedy nalezené číslo bylo (ostře) menší než \(m_1 \underbrace{- 1 - 1 - \cdots - 1}_{m_1-1\,krát} = m_1 - (m_1-1) = 1\), což není možné.
Jde o nepravdivý výrok. Protože tvrzení o existenci největšího prvku pronášíme o každé podmnožině přirozených čísel, stačí pro důkaz nepravdivosti nalézt jednu takovou, která největší prvek neobsahuje.
Tou může být sama množina všech přirozených čísel. Ať si v ní zvolíme jakékoli číslo \(n\), toto není nejvyšším prvkem této množiny, protože k němu lze vždy nalézt vyšší přirozené číslo. Konkrétně například jeho následníka \(n+1\).
Nejde o výrok.
Jde o výrok, který je nepravdivý. Protože se výrok týká každé dvojice reálných čísel, stačí najít jednu dvojici reálných čísel \(a\) a \(b\), pro níž neplatí nerovnost \(a < b\). Stačí tedy volit například \(a=1\) a \(b=0\).
Jde o pravdivý výrok. Protože \(q^2\) je reálné číslo, musí být pravdivá právě jedna z možností:
\[q^2 < 2, \qquad q^2 = 2, \qquad q^2 > 2.\]A protože prostřední možnost nemůže nastat (neboť odmocnina ze dvou není racionální číslo, viz úlohu Odmocnina ze dvou je iracionální číslo (důkaz sporem), musí být pravdivá jedna ze zbývajících.
Jde o výrok, který není pravdivý. Protipříklad našel Leonhard Euler pro \(p=5\), neboť
\[2^{2^5} + 1 = 4\,294\,967\,297 = 641\,\cdot\, 6\,700\, 417.\]Podle našeho vymezení jde o výrok — uvedené tvrzení (známého jako Goldbachova hypotéza) může být buď pravdivé či nepravdivé. Zatím však nebyl nalezen důkaz ani jedné z těchto možností.
