Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - limitní podílové kritérium
Úloha číslo: 869
Dokažte následující tvrzení.
Nechť {an} je posloupnost kladných reálných čísel, pro kterou platí, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1.\]Potom je
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = 0.\]Řešení
Označme
\[L = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{a_{n+1}}{a_n} .\]Pro libovolné kladné ε > 0 od nějakého členu počínaje platí podle definice limity, že
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} < L+\varepsilon.\]Protože L < 1, je číslo (1-L)/2 kladné. Volíme-li tedy takto zmíněné ε, od nějakého členu počínaje platí, že
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} < L+\varepsilon = L+\frac{1-L}{2} = \frac{1+L}{2} < 1.\]Položíme-li tedy
\[q = \frac{1+L}{2},\]dokázali jsme právě, že od nějakého indexu N počínaje platí
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} < q < 1,\]přičemž tato podmínka zaručuje podle úlohy Limita posloupnosti - podílové kritérium, že
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = 0.\]
