Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - limitní podílové kritérium

Úloha číslo: 869

Dokažte následující tvrzení.

Nechť {an} je posloupnost kladných reálných čísel, pro kterou platí, že

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1.\]

Potom je

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = 0.\]
  • Řešení

    Označme

    \[L = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{a_{n+1}}{a_n} .\]

    Pro libovolné kladné ε > 0 od nějakého členu počínaje platí podle definice limity, že

    \[\frac{a_{n+1}}{a_n} < L+\varepsilon.\]

    Protože L < 1, je číslo (1-L)/2 kladné. Volíme-li tedy takto zmíněné ε, od nějakého členu počínaje platí, že

    \[\frac{a_{n+1}}{a_n} < L+\varepsilon = L+\frac{1-L}{2} = \frac{1+L}{2} < 1.\]

    Položíme-li tedy

    \[q = \frac{1+L}{2},\]

    dokázali jsme právě, že od nějakého indexu N počínaje platí

    \[\frac{a_{n+1}}{a_n} < q < 1,\]

    přičemž tato podmínka zaručuje podle úlohy Limita posloupnosti - podílové kritérium, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = 0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze