Vyšetřete průběh funkce - prostá kvadratická funkce úvodem

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Vyšetřete průběh funkce - prostá kvadratická funkce úvodem

Úloha číslo: 1253

Vyšetřete průběh funkce \(f(x)=x^2\)

Rozbor
Co si přesně představit pod úlohami typu vyšetřete průběh funkce?

Naším úkolem bude získat co nejvíce vlastností funkce, abychom měli co nepřesnější představu o jejím průběhu a abychom byli schopni nakreslit co možná nejpřesnější graf zadané funkce.

Zejména nás budou zajímat tyto vlastnosti(zachována logická posloupnost vyšetřovaných vlastností):
1. Určete definiční obor funkce a případné body nespojitosti.
2. Ověřte, zdali je funkce sudá, lichá nebo periodická. V kladném případě můžeme další úkony omezit na nekladnou/nezápornou část osy nebo v případě, že je funkce periodická na interval jedné periody.
3. Spočtěte jednostranné limity v hraničních bodech definičního oboru funkce a v případných bodech nespojitosti. Získáte tak představu o případné omezenosti/neomezenosti funkce.
4. Pomocí záskané první derivace určete intervaly růstu a klesání funkce a její lokální maxima/minima
  
  Pokud to jde, určete jednostranné limity derivace zleva a zprava v těch bodech definičního oboru, kde první derivace neexistuje (určují sklon grafu funkce v těchto bodech)
5. Určete druhou derivaci funkce a s tím spojené body podezřelé z inflexe.
6. Pomocí záskané druhé derivace určete intervaly konvexnosti/konkávnosti funkce a její inflexní body
7. Ověřte, zdali funkce nemá asymptoty(tečny v nekonečnu)
8. Vypočítejte hodnoty, jichž funkce nabývá v důležitcý bodech - tj. v průsečících s osami, v bodech nespojitosti, v bodech extrémů funkce a v inflexních bodech.
9. Za pomoci získaných informací sestrojte graf funkce
Nápověda 1. - definiční obor a body nespojitosti.
Představte si, jak zkoumaná funkce vypadá (pro představu vzpomeňte na \(g(x)=x^2\)) a pro jaké hodnoty x je definována, případně, pro které hodnoty nemá smysl.
Nápověda 1. - řešení - definiční obor a body nespojitosti.
Funkce \(f(x)=x^2\) má evidentně smysl pro všechna reálná čísla, o definičním oboru tedy můžeme prohlásit, že:
\[D_f=R\]
Nápověda 2. - Periodičnost, Sudost a Lichost.
Zamyslete se nad tím, jaké funkce obvykle bývají periodicé, jestli může být tedy i zadaná funkce periodická, případně určete periodu.

K vyšetření symetrie funkce je potřeba znát podobu grafu předem nebo vycházet z definice sudé/liché, případně periodické funkce.
Nápověda 2.- Řešení - Periodičnost, Sudost a Lichost.
Periodické obvykle bývají funkce goniometrické či cyklometrické, jak je známo, tak funkce \(f(x)=x^2\) periodická není.

Můžeme také vyjít přímo z definice periodické funkce:
\[f(x+t)=f(x);\,\,t\ne 0\]
kde t rozumíme periodou funkce.

Pro jistotu ještě ověříme náš závěr výpočtem:
\[f(x+t)=(x+t)^2=x^2+2xt+t^2\overset{\underset{\mathrm{?}}{}}{=}x^2=f(x)\]
Je patrné na pvní pohled, že rovnost platí pouze pro hodnotu parametru \(t=0\) a zkoumaná funkce tedy skutečně není periodická.

Sudost či lichost vyšetříme pomocí definice těchto dvou vlastností funkce, kdy platí:
\[f(-x)=-f(x)\]
pro funkci lichou
\[f(-x)=f(x)\]
pro funkci sudou

Po dosazení získáváme rovnost:
\[(-x)^2 = x^2\]
z čehož plyne, že vyšetřovaná funkce je sudá a my se můžeme v dalším postupu omezit například na kladnou část reálné osy, tedy na \(x \in [0,+\infty)\)
Nápověda 2.- jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti
S využitím definice jednostranných limit a vět pro počítání limit funkcí spočteme limity v hraničních bodech D_f, což jsou v našem případě reálná čísla, avšak, protože je funkce sudá, postačí, když se omezíme na kladnou část reálné osy.
Nápověda 2.- Řešení - jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti
Víme, že hraničními body D_f jsou pro x rovno \(-\infty\) a \(+\infty\), avšak, jelikož je funkce sudá, postačí, když vypočteme jednostrannou limitu například v \(+\infty\), neboť v \(-\infty\) vyjde totožná hodnota.

Hledanou limitu vypočteme, dle definice jednostranné limity, jako:
\[\lim_{x \to +\infty_{-}}{x^2}=+\infty=\lim_{x \to -\infty_{+}}{x^2}\]
Díky spočteným limitám jsme již nyní schopni prohlásit, že je funkce shora neomezená(roste až do nekonečna).
Nápověda 3.- První derivace a body podezřelé z extrémů
Pomocí známých derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci. Následně za pomoci nutné podmínky existence lokálního extrému určíme body podezřelé z extrémů.
Nápověda 3.- Řešení - První derivace a body podezřelé z extrémů
Například pomocí známé derivace obecné mocninné funkce z úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné vypočítáme derivace zkoumané funkce jako:
\[f^{\prime}(x)=(x^2)^{\prime}=2x\]
Nutnou podmínkou pro existenci lokálního extrému je, že pokud má funkce v daném bodě vlastní první derivaci, její hodnota je rovna 0. Hledáme tedy takové body/taková x, v nichž první derivace nabývá nulové hodnoty nebo v nichž neexistuje.

Na první pohled je patrné, že v našem případě se jedná pouze o \(x=0\)
Nápověda 4.- Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy
Pomocí již známé první derivace a vlastnosti roztu/klesání funkce ve spojitosti právě s její první derivací určete intervaly růstu a klesání, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice lokálního extrému, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z extrémů skutečně extrémy funkce či nikoli.

Opět využijte zjištěné sudosti funkce.
Nápověda 4.- Řešení - Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy
Vzhledem ke skutečnosti, že bod podezřelý z extrému je 0, zkoumané intervaly budou vypadat \((-\infty ,0)\) a \((0 ,+\infty)\), díky sudosti funkce se zaměříme pouze na interval \((0 ,+\infty)\) a ověříme, jakých hodnot na něm funkce nabývá(což provedeme metodou dosazení vnitřního bodu intervalu)

Je patrné, že pro \(x \in(0 ,+\infty)\) první derivace \(f^{\prime}(x)=2x\) nabývá kladných hodnot, z věty o první derivace a monotonii funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce roztoucí a ze sudosti funkce, tedy její symetrie podle osy y, plyne, že na intervalu \((-\infty ,0)\) je funkce klesající.

Nyní víme, že existuje pravé okolí bodu 0, v němž je zkoumaná funkce klesající a levé okolé bodu, v němž je zkoumaná funkce roztoucí, z čehož a z definice lokálního minima plyne, že má zkoumaná funkce v bodě nula lokální minimum(toto minimum je dokonce globální, jak zjistíme později)
Nápověda 5.- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.
Pomocí známých derivací nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci ze znalosti derivace první. Následně za pomoci nutné podmínky existence inflexe určíme body podezřelé z inflexe.
Nápověda 5.- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.
Například pomocí známé derivace obecné mocninné funkce z úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné vypočítáme derivace zkoumané funkce jako:
\[f^{''}(x)=(x^2)^{''}=(2x)^{\prime}=2\]
Nutnou podmínkou pro existenci inflexnho bodu je, že hodnota druhé derivace v tomto bodě je rovna 0, hledáme tedy takové body/taková x, v nichž druhá derivace nabývá nulové hodnoty nebo body , v nichž neexistuje.

Na první pohled je patrné, že v našem případě takové body neexistují
Nápověda 6. - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body
Pomocí již známé druhé derivace a vlastnosti konvexity/konkávnosti funkce ve spojitosti právě s druhou derivací určete intervaly konvexity/konkávnosti, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice inflexního bodu, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z inflexe skutečně inflexními body funkce či nikoli(takové body v našem případě neexistují).

Opět využijte zjištěné sudosti funkce.
Nápověda 6. - Řešení - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body
Vzhledem ke skutečnosti, že druhá derivace nabývá pro všechna x pouze kladných hodnot, čímž je splněna podmínka pro konvexnost funkce na daném intervalu, je patrné, že zkoumaná funkce bude na celém svém definičním oboru konvexní. Jak již víme, žádný z bodů nesplňuje nutnou podmínku inflexe, z čehož plyne, že funkce nemá inflexní body.

Mohli jsme se též omezit na interval nezáporných čísel a ze symetrie určit zbývající interval, ovšem, v tomto případě to nebylo nutné.
Nápověda 7.- Asymptoty
Z definice asymptoty, věty pro její určení a symetrie funkce určete rovnice obou těchto přímek.

Využijte sudosti funkce.
Nápověda 7.- Řešení - Asymptoty
Víme, že pokud má funkce asymptoty, pak koeficienty a, b rovnice této přímky \(y=ax+b\) získáme jako(přičemž a, b jsou konečná reálná čísla):
\[a=\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}\] \[b=\lim_{x \to +\infty}f(x)-ax\]
pro asymptotu v plus nekonečnu
\[a=\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}\] \[b=\lim_{x \to -\infty}f(x)-ax\]
pro asymptotu v minus nekonečnu

Ze sudosti funkce dále plyne, že postačí vyšetřit pouze asymptotu, například, v plus nekonečnu, neboť bude-li tato existovat, pak asymptota v minus nekonečnu bude jedna a táž přímka.

Pro koeficient a tedy po dosazení do limity získáváme:
\[a=\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{x}=\lim_{x \to +\infty}x=+\infty\]
protože koeficient a není konečné reální číslo, pak v plus nekonečnu tato funkce asymptotu nemá a ze symetrie tedy i v minus nekonečnu žádnou asymptotu zkoumaná funkce nemá.
Nápověda 8.- Dopočtení důležitých hodnot
Vypočítejte, jakých hodnot zkoumaná funkce nabývá ve svých případných průsečících s osami, extrémech, bodech nespojitosti a inflexních bodech
Nápověda 8.- Řešení - Dopočtení důležitých hodnot
Nyní prostým dosazením do \(f(x)=x^2\) dopočteme zmíněné, pro graf podstatné, hodnoty.

Průsečík s osou y tak, že za x dosadíme 0:
\[f(0)=0^2=0\]
Průsečíkem s osou y tedy bude bod [0,0]

Průsečíky z osou x zjistíme tak, že 0 dosadíme za y:
\[0=x^2\]
z čehož plyne, že tento průsečík je opět bodem [0,0]

Body nespojitosti nebyly zjištěny.

Funkce nabývá extrému a to v 0, v níž jsme již hodnotu funkce spočetli jako 0.

Zkoumaná funkce nemá inflexní body.
Nápověda 9. - Graf
Ze získaných údajů sestrojte co nejpřesnější graf zkoumané funkce.
Nápověda 10.- Řešení - Graf
Podrobný graf - doplňující materiál pro kontrolu

Tmavě modře je znázorněna derivace první, světle modře pak derivace druhá, bod A je lokálním, současně i globálním minimem funkce.