Heineho věta
Úloha číslo: 1226
Pro každou posloupnost \(\left(x_n\right)\) čísel z \(D\left(f\right)\) takovou, že \(x_n\neq a\) a \(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n = a\), platí \(\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n) = L\).
Důkaz
Důkaz \(\Rightarrow\)
Platí \[\lim\limits_{x\to a} f(x) = L.\] Tj. z definice limity \[\forall V(L)\ \exists U^*(a):\quad \forall x\in U^*(a)\quad f(x)\in V(L).\]Uvažujme posloupnost \(x_n\rightarrow a,~x_n\neq a~\forall n \in \mathbb{N}\). Evidentně
\[\exists n_0 \in \mathbb{N},~\forall n \in \mathbb{N}~n\gt n_0: \quad x_n\in U^*(a).\]Pak ale nutně
\[f(x_n) \in V(L).\]A tedy
\[ f(x_n)\rightarrow L.\\ \square \]
Důkaz \(\Leftarrow\), pro \(a,L\in\mathbb{R}.\)
Mějme posloupnost \(x_n\rightarrow a,~x_n\neq a~\forall n\in\mathbb{N}\) takovou, že \(f(x_n)\rightarrow L.\)
Chtěli bychom ukázat, že \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = L.\)
Důkaz obměněnou implikací:
Nechť neplatí
\[\forall \epsilon \gt 0~~\exists\delta\gt 0\quad \forall x\in(a-\delta,a+\delta)\setminus\lbrace a\rbrace\quad |f(x)-L|\lt \epsilon.\]Tj.
\[ \begin{eqnarray*} \exists \epsilon \gt 0~~\forall\delta\gt 0\quad \exists x\in(a-\delta,a+\delta)&\setminus &\lbrace a\rbrace\quad |f(x)-L|\ge \epsilon,\\ \exists \epsilon \gt 0~~\forall\delta= \frac{1}{n}\quad \exists x_n\in\left(a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}\right)&\setminus &\lbrace a\rbrace\quad |f(x_n)-L|\ge \epsilon. \end{eqnarray*} \] Tedy \(x_n\rightarrow a,~x_n\neq a\) a \(\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) \neq L.\) A to je SPOR! \[ \square \]Důsledek Heineho věty pro limitu posloupnosti
Nechť funkce \(f\) má v bodě \(+\infty\) limitu L. Potom také existuje limita posloupnosti \(\left(f\left(n\right)\right)_{n=1}^{+\infty}\) a platí \[ \lim\limits_{n\to+\infty}f(n)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = L. \]
Tento důsledek říká, že limitu posloupnosti můžeme často počítat jako limitu funkce v nevlastním bodě, pokud to je možné. Pokud existuje limita funkce, existuje i limita posloupnosti a je jí rovna. V praxi tak často převedeme použitím Heineho věty výpočet limity posloupnosti na výpočet limity funkce, neboť pro výpočet limit funkcí existují silnější nástroje (především pak Věta o limitě složené funkce).
Ovšem pozor: pokud příslušná limita funkce neexistuje, o limitě posloupnosti to nic neříká. V takových případech musíme volit pro vyšetřování limity posloupnosti jinou techniku.
Limity posloupnosti ve sbírce řešené pomocí Heineho věty
Příklady limit posloupnosti řešených pomoci Heineho věty
