Sbírka řešených úloh

Limita racionální funkce v nevlastním bodě II.

Úloha číslo: 1171

• Nápověda 1

  Mohli bychom jednotlivé dvojčleny umocnit, například pomocí binomické věty a následně vše roznásobit. Dostali bychom polynom dělený polynomem, jehož limitu jsme řešili v úloze: Limita racionální funkce v nevlastním bodě I.. To by bylo ale příliš pracné.

  Raději provedeme vhodné vytýkání. Z každé závorky vytkneme x a rozepíšeme mocnitele na vzniklé členy součinu.

• Řešení nápovědy 1

  Vytkněme x z každé závorky a umocněme jej: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{ \left[x\left(2-\frac{3}{x}\right)\right]^{20}\left[x\left(3+\frac{2}{x}\right)\right]^{30} }{ \left[x\left(2+\frac{1}{x}\right)\right]^{50} } = \] \[ = \lim_{x\to+\infty}\left[ \frac{x^{20}\cdot x^{30}}{x^{50}} \cdot \frac{ \left(2-\frac{3}{x}\right)^{20} \left(3+\frac{2}{x}\right)^{30} }{ \left(2+\frac{1}{x}\right)^{50} } \right]\mathrm{.} \]

• Nápověda 2

  Vypočtěte limitu za použití věty o aritmetice limit.

  Připomeňme si, že:

  \[\lim_{x\to+\infty} \frac{a}{x} = 0 \qquad \forall a\in\mathbb{R}\mathrm{.}\]

  ---

  \[ \lim_{x\to+\infty}\left[ \frac{x^{20}\cdot x^{30}}{x^{50}} \cdot \frac{ \left(2-\frac{3}{x}\right)^{20} \left(3+\frac{2}{x}\right)^{30} }{ \left(2+\frac{1}{x}\right)^{50} } \right]\mathrm{.} \]

• Řešení nápovědy 2

  Použitím věty o aritmetice limit získáme: \[ \lim_{x\to+\infty}\left[ \frac{x^{20}\cdot x^{30}}{x^{50}} \cdot \frac{ \left(2-\frac{3}{x}\right)^{20} \left(3+\frac{2}{x}\right)^{30} }{ \left(2+\frac{1}{x}\right)^{50} } \right] = 1\cdot \frac{(2-0)^{20}\cdot(3+0)^{30}}{(2+0)^{50}} = \frac{3^{30}}{2^{30}}\mathrm{.} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Závorky není třeba mocnit, jednoduší je použít vhodné vytýkání.

  Vytkněme x z každé závorky a umocněme jej:

  \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{ \left[x\left(2-\frac{3}{x}\right)\right]^{20}\left[x\left(3+\frac{2}{x}\right)\right]^{30} }{ \left[x\left(2+\frac{1}{x}\right)\right]^{50} } = \] \[ = \lim_{x\to+\infty}\left[ \frac{x^{20}\cdot x^{30}}{x^{50}} \cdot \frac{ \left(2-\frac{3}{x}\right)^{20} \left(3+\frac{2}{x}\right)^{30} }{ \left(2+\frac{1}{x}\right)^{50} } \right]\mathrm{.} \] Použitím věty o aritmetice limit získáme: \[ \lim_{x\to+\infty}\left[ \frac{x^{20}\cdot x^{30}}{x^{50}} \cdot \frac{ \left(2-\frac{3}{x}\right)^{20} \left(3+\frac{2}{x}\right)^{30} }{ \left(2+\frac{1}{x}\right)^{50} } \right] = 1\cdot \frac{(2-0)^{20}\cdot(3+0)^{30}}{(2+0)^{50}} = \frac{3^{30}}{2^{30}}\mathrm{.} \]

  ---

• Výsledek

  \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}} = \frac{3^{30}}{2^{30}}\mathrm{.} \]