Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha VII
Úloha číslo: 859
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}.\]Návod
Využijte limity posloupnosti platné pro každé x reálné
\[\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x,\]kde e je tzv. Eulerovo číslo, pro které platí
\[2.718281828 < e < 2.718281829.\]Řešení
Podle návodu máme, že
\[\lim \left(1+\frac{2}{n}\right)^n = e^2, \qquad \lim \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}.\]Podle definice vlastní limity posloupnosti tedy od nějakého členu počínaje tedy platí, že
\[\left(1+\frac{2}{n}\right)^n \leq e^2 + 0.5,\] \[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \leq e^{-1} + 0.5,\]a zároveň
\[\left(1+\frac{2}{n}\right)^n \leq e^2 - 0.5,\] \[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \leq e^{-1} - 0.5.\]Tudíž máme odhady
\[\sqrt[n]{e^2+e^{-1}-1} \leq \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} \leq \sqrt[n]{e^2+e^{-1}+1}.\]Protože podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I máme, že
\[ \lim \ \sqrt[n]{e^2+e^{-1}-1} = 1,\lim \ \sqrt[n]{e^2+e^{-1}+1} = 1,\]je také podle Věta o dvou policajtech
\[\lim \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} = 1.\]
