Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha VII

Úloha číslo: 859

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}.\]
  • Návod

    Využijte limity posloupnosti platné pro každé x reálné

    \[\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x,\]

    kde e je tzv. Eulerovo číslo, pro které platí

    \[2.718281828 < e < 2.718281829.\]
  • Řešení

    Podle návodu máme, že

    \[\lim \left(1+\frac{2}{n}\right)^n = e^2, \qquad \lim \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}.\]

    Podle definice vlastní limity posloupnosti tedy od nějakého členu počínaje tedy platí, že

    \[\left(1+\frac{2}{n}\right)^n \leq e^2 + 0.5,\] \[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \leq e^{-1} + 0.5,\]

    a zároveň

    \[\left(1+\frac{2}{n}\right)^n \leq e^2 - 0.5,\] \[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \leq e^{-1} - 0.5.\]

    Tudíž máme odhady

    \[\sqrt[n]{e^2+e^{-1}-1} \leq \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} \leq \sqrt[n]{e^2+e^{-1}+1}.\]

    Protože podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I máme, že

    \[ \lim \ \sqrt[n]{e^2+e^{-1}-1} = 1,\lim \ \sqrt[n]{e^2+e^{-1}+1} = 1,\]

    je také podle Věta o dvou policajtech

    \[\lim \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze