Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Limita posloupnosti - komplexní úloha VII

Úloha číslo: 859

Určete limitu posloupnosti

limn n(1+2n)n+(11n)n.
  • Návod

    Využijte limity posloupnosti platné pro každé x reálné

    limn(1+xn)n=ex,

    kde e je tzv. Eulerovo číslo, pro které platí

    2.718281828<e<2.718281829.
  • Řešení

    Podle návodu máme, že

    lim(1+2n)n=e2,lim(11n)n=e1.

    Podle definice vlastní limity posloupnosti tedy od nějakého členu počínaje tedy platí, že

    (1+2n)ne2+0.5, (11n)ne1+0.5,

    a zároveň

    (1+2n)ne20.5, (11n)ne10.5.

    Tudíž máme odhady

    ne2+e11n(1+2n)n+(11n)nne2+e1+1.

    Protože podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I máme, že

    lim ne2+e11=1,lim ne2+e1+1=1,

    je také podle Věta o dvou policajtech

    limn(1+2n)n+(11n)n=1.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze