Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Úroveň náročnosti
Štítky
Obecné
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha VII
Úloha číslo: 859
Určete limitu posloupnosti
limn→∞ n√(1+2n)n+(1−1n)n.Návod
Využijte limity posloupnosti platné pro každé x reálné
limn→∞(1+xn)n=ex,kde e je tzv. Eulerovo číslo, pro které platí
2.718281828<e<2.718281829.Řešení
Podle návodu máme, že
lim(1+2n)n=e2,lim(1−1n)n=e−1.Podle definice vlastní limity posloupnosti tedy od nějakého členu počínaje tedy platí, že
(1+2n)n≤e2+0.5, (1−1n)n≤e−1+0.5,a zároveň
(1+2n)n≤e2−0.5, (1−1n)n≤e−1−0.5.Tudíž máme odhady
n√e2+e−1−1≤n√(1+2n)n+(1−1n)n≤n√e2+e−1+1.Protože podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I máme, že
lim n√e2+e−1−1=1,lim n√e2+e−1+1=1,je také podle Věta o dvou policajtech
limn√(1+2n)n+(1−1n)n=1.
